|
|
ОглавлениеЧасть I. Основы логики. Глава 1. Предмет логики Глава 3. Основные законы логики Глава 6. Суждение и высказывание Глава 7. Учение об умозаключениях. Силлогистика Глава 8. Доказательство и опровержение Глава 9. Сложные суждения. Элементы логики высказываний Глава 10. Основы логики предикатов Глава 11. Индукция. Индуктивные умозаключения Глава 12. Логические парадоксы Часть II. Основные направления современного развития логики. Глава 1. Историческое введение Глава 2. Основы модальной логики Глава 5. Логика компьютерного диалога Глава 6. Эпистемическая логика Глава 2. Аргумент как речевое действие Глава 3. Правила и ошибки аргументации Для бесплатного чтения доступна только часть главы! Для чтения полной версии необходимо приобрести книгуГлава 7. Временная логикаВо временной логике предлагаются средства для построения и анализа рассуждений, построенных из суждений, выражаемых высказываниями, у которых истинностные значения приурочены к определенному времени и могут с течением времени изменяться. Язык временной логики строится с учетом нашей практики в построении языка логики высказываний. Алфавит языка содержит следующие категории знаков: 1) пропозициональные буквы: p, q, r, s, t, p q, r, sp t, p, q,... — которые обозначают овремененные высказывания, т. е. такие, которые могут быть как постоянно истинными или ложными, так и истинными в одно время и ложными в другое; 2) логические знаки (союзы) логики высказываний; 3) временные операторы: оператор (простого) будущего времени F (читается как «(когда-нибудь) будет так, что...»), (простого) прошедшего времени P (читается как «(когда-то) было так, что...»); 4) технические знаки: (— левая скобка;) — правая скобка. Кроме перечисленных знаков могут использоваться — в основном в качестве сокращений, сделанных на основе указанных временных операторов, — оператор всегда будущего времени G (читается как «всегда будет так, что...») и всегда прошедшего времени Н (читается как «всегда было так, что...»): Могут использоваться также и некоторые другие операторы. Определение временно-логической формулы: 1) всякая пропозициональная переменная есть временно-логическая формула; 2а) если А и В являются временно-логическими формулами, то каждое из следующих выражений: ¬ А, (А ∧ В), (А ∨ В), (А → В) есть временно-логическая формула; 2б) если А есть временно-логическая формула, то FА и РА также являются временно-логическими формулами; 3) выражение считается временно-логической формулой тогда и только тогда, когда оно может быть построено в соответствии сп. 1-2. Доказательство формулы А в данной системе временной логики строится согласно следующему предписанию. На любом шаге построения можно написать: 1) одну из (всех) аксиом; 2) формулу, следующую из ранее написанных формул по правилу modusponens, МП; 3) формулу, следующую из ранее написанных формул по другим правилам логического следования, которые есть (если есть!) в данной системе. Доказательство формулы А считается построенным, если в соответствии с п. 1)—3) получена последовательность формул, оканчивающаяся формулой А. В данной системе формула А называется доказуемой формулой, или логической теоремой, если можно построить доказательство данной формулы. Постулаты временной логикиНе имея возможности изложить семантику временной логики в строгой форме, мы ограничиваемся, так сказать, «интуитивными соображениями», касающимися того, как в постулатах (аксиомах и правилах логического следования) временной логики истинностные значения высказываний соотносятся с различными свойствами временных структур, которые представляют собой концептуальные модели времени. Постулаты однородности, симметричности и транзитивностиПравило присвоения всегда будущности: Это правило логического следования можно прочитать обычным образом как: «из формулы (посылки) А следует формула (заключение) GA». Можно представить его и в другой форме: Правило присвоения всегда прошлости: или опять-таки в другой форме: В обоих правилах представлена «логическая однородность» времени, в том смысле, что истины логики (тождественно-истинные формулы) являются истинами в любой момент времени («на все времена»). Схемы аксиом однородности. G (A → B) → (FA → FB) или ¬F¬ (A → B) → (FA → FB) или ¬F¬(A → B) → (FA → FB) -для выражения однородности времени в направлении будущего и H (A → B) → (PA → PB) или ¬P¬ (A → B) → (PA → PB) — для выражения однородности времени в направлении прошлого. Другое представление этих же схем аксиом: и соответственно в этом случае отражена конгруэнтность временных интервалов, а не просто однородность моментов времени. «Принципы перемешивания грамматических времен». A → GPA, что можно прочесть как «Если нечто является (сейчас) фактом, то всегда (после этого) будет так, что это было фактом». А. Прайор назвал эту формулу «законом Оккама». Очевидно, эту схему аксиом (посредством контрпозиции) можно заменить на FHА → А. Второй «принцип перемешивания»: A → HFA или PGA → A. В этой схеме присутствует некоторый фаталистический «привкус»: будто бы из того, что нечто имеет место, следует, что всегда было так, что это когда-нибудь будет. Однако если иметь в виду собственно определение оператора Н, то этот принцип можно прочитать иначе: «Если нечто имеет место, то никогда не было так, что этого не будет». Правила «временной экстенсиональности» Эти правила не являются независимыми по отношению к некоторым из описанных ранее, например по отношению к G (A → B) → (Fa →FB) и H (A → B) → (PA → PB) соответственно. Так что возможны альтернативные аксиоматизации: при наличии правил RG и REF можно вместо G (A → B) → (FA → FB) использовать F(A v B) → (FA v FB). Правило «зеркального отображения» где А — временно-логическая формула, а A* получается из А посредством повсеместной замены вхождений операторов будущего времени F и G на вхождения соответствующих операторов прошедшего времени P и H, и наоборот. Это правило затрагивает уже и топологические свойства времени, поскольку оно говорит об одинаковости (симметричности) в отношении всех вообще характеристик прошлой и будущей ветвей временного ряда. Введение этого правила в исчисление — там, где это возможно (симметричный временной ряд), — позволяет вдвое «урезать» набор схем аксиом и сократить длину выводов. Схемы аксиом транзитивности. FFA → FA, или GA → GGA, — для будущей ветви времени и PPA → PA, или HA → HHA, — для прошлой ветви. Введение этих схем в то или иное исчисление означает, что в качестве используемой (подразумеваемой) модели времени берется транзитивное время, а отсутствие их — что этот аспект времени во внимание не принимается, хотя и необязательно отрицается, т. е. все выводы, которые возможны в этом исчислении, не зависят от того, является ли время транзитивным или нет. Постулаты бесконечности и конечностиСхемы аксиом бесконечности GA → FA, которая может быть прочитана как «Если всегда будет так, что А, то когда-нибудь будет так, что А». Ее корреляцию с представлением о бесконечности времени в направлении будущего можно выявить следующим образом. В соответствии с определением оператора G, данную схему можно преобразовать в ¬F¬A → FA, а затем, с помощью контрпозиции и подстановки A/¬A, → в ¬FA → F¬A. Эту последнюю можно прочитать как «Если не будет так, что А, то будет так, что не-А». Если у времени имеется конец, т. е. последний момент, после которого уже ничего не будет, то, очевидно, высказывание ¬FA в этот момент является истинным, а высказывание F¬A — ложным. Равным образом НА → РА соотносит истинностные значения высказываний с представлением об отсутствии у времени самого первого момента времени, «начала». Схемы аксиом Макколла A → FPA — для будущей ветви времени и A → PFA — для прошлой ветви. Схема аксиом A → PFA дедуктивно эквивалентна, — при наличии схем аксиом: FHA → А, H (A → B) → (PA → PB) и А → HFA или эквивалентных им схем, которые входят во всякое исчисление временной логики, — схеме аксиом НА → РА. Аналогично можно показать, что схема аксиом A → PFA эквивалентна, — при таких же условиях — схеме GA → FA. «Закон Финдлея» (А ∨ PА ∨ FА) → FPА может быть взята в качестве постулата бесконечности времени в направлении будущего, а ее «зеркальный образ» — (А ∨ PА ∨ FА) → PFА — в направлении прошлого. Замечание. Отсутствие постулатов бесконечности в данной системе временной логики, конечно же не означает, что время предполагается бесконечным. Это отсутствие означает, что как бесконечность, так и конечность времени не принимаются во внимание, и все выводы, обоснованные в данной системе, являются справедливыми и в случае бесконечного, и в случае конечного времени. Схемы аксиом конечности (¬FA ∨ F¬FA), или, при вполне очевидных преобразованиях, — (GA ∨ FGA), и (¬РА ∨ Р¬РА), или (НА ∨ РНА), служат соответственно для выражения наличия у времени конца (последнего момента) или/и начала (самого первого момента) в явной форме. В самом деле, например, если у времени есть конец, то для любого высказывания А первый дизъюнкт формулы (¬FA ∨ F¬FA) является истинным в самый последний момент времени, а второй — вплоть до этого самого последнего момента; так что формула в целом оказывается истинной во все времена. В случае же бесконечного (в направлении будущего) времени это не выполняется. Вместо схемы аксиом ¬FA ∨ F¬FA для выражения наличия у времени конца можно использовать эквивалентную ей FA → F¬FB. Для доказательства этого введем производное правило вывода: Оно обосновывается следующим образом. 1. A → B 2. G (A → B) → 1, RG 3. G (A → B) → (FA → FB) — схема аксиом 4. FA → FB — 2, 3, МП. Теперь доказательство сделанного утверждения выглядит так: 1. (¬FA ∨ F¬FA) 2. FA → F¬FA — 1, логика высказываний (ЛВ) 3. F (A → A) → F¬F (A → A) — 2, А/ ( A → A) 4. А → (А → А) — ЛВ 5. FA → F(А → А) — 4, RFC 6. FA → F—F (А → А) — 5, 3, силлогизм 7. В → (А → А) — ЛВ 8. FB → F (А → А) — 7, RFC 9. ¬F(А → А) → — FB — 8, ЛВ 10. F¬F (А → А) → F— FB — 9, RFC 11. FA → F¬FB — 6, 10, силлогизм. Аналогично для выражения наличия у времени начала можно использовать схему аксиом РА → Р— РB. Пример. Введение в состав постулатов какого-то исчисления сразу и какого-нибудь постулата бесконечности времени и какого-нибудь постулата конечности приводит к противоречию, например: 1. GA ∨ FGA — аксиома конечности 2. GA → FA — аксиома бесконечности 3. FA ∨ FGA — 1, 2, ЛВ 4. ¬F → FGA — 3, ЛВ 5. ¬F— (А → А) → FG¬(А → А) — 4, А/¬ (А → А) 6. А → А — ЛВ 7. G (А → А) — 6, RG 8. ¬F¬ (А → А) — 7, определение G 9. FG¬ (А → А) — 8, 5, МП 10. ¬¬F¬F¬¬ (А → А) — 9, ЛВ, определение G + 11. ¬ GF (А → А) — 10, определение G, ЛВ 12. G (А → А) → F(А → А) — 2, А/ (А → А) 13. F (А → А) — 7, 12, МП ++ 14. GF (А → А) — 13, RG (Шаги 11, 14 противоречат друг другу.) Таким образом, формализация связи истинностных значений высказываний со свойствами бесконечности и конечности времени с помощью постулатов временной логики обладает определенной адекватностью. Замечание. Следует подчеркнуть, что все рассмотренные постулаты означают все-таки не более чем, что в состоящем из моментов временном ряду либо имеется, либо нет самый первый или/и самый последний момент. Так что если время является дискретным, то они являются адекватным представлением связи истинностных значений высказываний со свойством бесконечности времени. Однако если время является плотным, то независимо от того, что оно не бесконечно, рассматриваемые постулаты бесконечности будут выполняться. Схемы аксиом «мертвого времени» Г. Х. фон Вригт заметил, что схему аксиом FA → F—FA можно истолковать следующим образом: истина является бесконечно изменяющейся. Если некоторое суждение, описывающее какое-то положение дел, является истинным, то оно является таковым не более чем однажды: в описании всех последующих положений дел, пусть что ни есть сходных с данным, если они являются полными, присутствуют и сведения о том, что данное положение дел уже выполнялось. Далее из приведенной схемы аксиом можно вывести — в присутствии постулатов, которые есть во всяком исчислении временной логики (они образуют «минимальную логику», которая рассматривается далее), — схему FA → F (B → GB), хотя обратное места не имеет. Последнюю схему можно интерпретировать так: «Если что-либо будет иметь место, то рано или поздно будет так, что все, что имеет место, будет иметь место и всегда после этого». Корреляция ее с идеей прекращения изменений в мире позволяет дать ей название аксиомы мертвого времени. В соответствующей модели различаются понятия «конец времени» и «отсутствие дальнейших изменений в мире» (или «окончательное, неизменное состояние мира»). «Мертвое время» может и не иметь конца. Соответственно, схема аксиом конечности времени FA → F—FA не выводится из схемы «мертвого времени» FA → F (B → GB). Но если время имеет конец, то «после» этого конца времени никаких изменений в мире, разумеется, нет. Соответственно, схема аксиом «мертвого времени» FA → F (B → GB) выводится из схемы конечности времени FA → F—FA. (Указанное различение вполне согласуется с тем общефилософским определением времени, которое впервые было сформулировано В. И. Свидерским: время есть длительность и порядок смены предметами действительности друг друга.) Постулаты для выражения кругового характера времениМожно показать, что если к классической логике высказываний присоединить правила логического следования RH и RMI и схемы аксиом (А → (GA → PGA)) *, (PA → PPA) *, (PGA → А), (H(A → B) → (PA → PB), (GA → GGA) *, то в полученном исчислении является теоремой GA → А. Из GA → А легко получить А → FA. Обе эти схемы аксиом отражают связь свойств круговой модели времени с характером изменения истинностных значений высказываний. В самом деле, первую можно прочитать как «Если всегда будет так, что А, то (уже сейчас) есть так, что А»; вторую — как «Если сейчас есть так, что А, то и когда-нибудь будет так, что А». Наличие GA → А означает, очевидно, что GA и (А л GA) оказываются эквивалентными друг другу. Точно так же — что нетрудно видеть — обстоит дело со схемами А и (А л НА), А и FA, А и PA. Однако не все теоремы, которые должны быть доказуемыми при предположении о круговом характере времени, являются таковыми при описанных выше условиях, например GA → НА и НА → GA. Внимание! Авторские права на книгу "Логика. Учебник" (Под ред. Мигунова А.И., Микиртумова И.Б., Федорова Б.И.) охраняются законодательством! |
||||||||||||||||||||||
