Книги

Логика. Учебник

Под ред. Мигунова А.И., Микиртумова И.Б., Федорова Б.И.

Возрастное ограничение:

Жанр:

Наука

Издательство:

Проспект

Дата размещения:

19.03.2014

ISBN:

9785392146413

Язык:

Объем текста:

589 стр.

Формат:

epub

Часть II. Основные направления современного развития логики

Глава 1. Историческое введение

Глубокий и утонченный логический аппарат, выработанный учеными Европы в XIII–XV вв., в Новое время оказался невостребованным. Лицо культурного прогресса в ту эпоху определялось развитием естественно-научного знания, а последнее вполне обоснованно не рассматривало «схоластическую» логику как приемлемый метод познания природы. Поэтому эта героическая эпоха в истории науки и философии для логики стала периодом не просто застоя, но деградации. Даже логические исчисления, созданные, например, Г. В. Лейбницем или И. Ламбертом, увы, остались проектами великих одиночек и не смогли изменить общую картину.

Что же изменилось во второй половине XIX и особенно в начале ХХ в., когда логика вновь стала привлекать внимание лучших умов человечества? Объясняется это возникновением некоторых проблем в основаниях математики, прежде всего в области математического анализа, для преодоления которых математики вынуждены были обратиться к логике. Однако, не обнаруживая в имевшихся на тот момент пособиях по формальной логике точек соприкосновения со своими проблемами, они начали создавать необходимый логический аппарат собственными силами.

По существу, первым, кто попытался глубоко и систематически адаптировать логику к математическому рассуждению, был чешский логик Бернард Больцано (1786—1848). Занимаясь проблемой обоснования независимости знаменитого пятого постулата Евклида, а также работая над основаниями математического анализа, он убедился в недостачной логической строгости доказательств и определений в работах ведущих математиков своего времени. Результатом его исследований в этом направлении стал фундаментальный четырехтомный труд «Учение о науке».

Принципиальным логико-эпистемологическим новаторством Больцано является допущение представлений в себе и предложений в себе, которые и образуют предметную область разрабатываемой им логики. Предложение в себе — это «некоторое высказывание, независимо оттого, истинное оно или ложное, выражено оно кем-либо в словах или не выражено, мыслится ли оно в душе или не мыслится». Они таковы, каковы они есть, независимо от того, что думает о них то или иное разумное существо и даже независимо от того, мыслил и будет ли их мыслить кто бы то ни было в будущем. Логика, по мнению Больцано, является формальной наукой именно потому, что она должна заниматься исследованием формы предложений в себе. Предложения в себе отчетливо противопоставляются суждениям, под которыми Больцано понимает «мыслимые предложения в себе».

Главным собственно логическим новаторством следует признать метод вариации переменных, и предложенное на его основе определение отношения логического следования (которое сам Больцано называл отношением выводимости [ableitbarkeit]). Метод вариации состоит в том, что Больцано предлагает некоторые представления, входящие в предложение, рассматривать как переменные, которые могут заменяться другими представлениями. Ряд логических понятий и отношений (значимость, аналитичность, совместимость и др.) Больцано определяет как свойства, неизменяемые в результате таких подстановок. Особый интерес представляет предложенное им определение отношения выводимости:

«<...предложения M, N, O, ... выводимы из предложений А, В, С, D ... относительно переменных частей i, j, ... если каждая совокупность представлений, которая при замене i, j, ... делает истинными все A, B, C, D, ... делает истинными также все M, N, O, ...».

Учитывая, что для математика существенно не то, что предложение имеет субъектно-предикатную структуру, а то, что оно состоит из переменных и констант, становится понятным, что логический аппарат, разработанный Больцано, предназначался в первую очередь именно для математических рассуждений. К сожалению, новаторские идеи Больцано в течение десятилетий пребывали в забвении и не смогли оказать непосредственного влияния на развитие логики.

Алгебраический этап развития логики

Джордж Буль

Решительным шагом к формированию современной логики стали работы британского математика Джорджа Буля (1815—1864), которые привели к формированию алгебраической логики. Здесь стоит упомянуть, что в Британии в вопросе обоснования математического анализа особую популярность приобрел подход Лагранжа, который стремился свести его к алгебре. При этом объектом алгебраических преобразований становились не только привычные числа и величины, но также функции и операции. Ведущие представители Кембриджского алгебраического движения уверенно проводили различие между арифметической и символической алгебрами. Словом, сама идея нечисловой алгебры именно в Британии не была чем-то экзотическим. Дж. Буль сформировался в рамках именно этой традиции, его логические теории изложены в работах «Математический анализ логики» (1847) и «Законы мысли» (1854). Введение к первой из них открывается следующим рассуждением: «В символической алгебре правильность процесса анализа зависит не от интерпретации используемых символов, но только от законов их соединения. Всякая система интерпретации, не оказывающая воздействия на истинность рассматриваемых отношений, одинаково допустима. Поэтому одни и те же процессы при одной схеме интерпретации могут представлять собой решение вопроса о свойствах чисел, при другой — геометрической проблемы, при третьей — проблемы динамики или оптики».

В этой работе Буль показал, что аристотелевские силлогизмы можно представить как обычные алгебраические уравнения, а заключение из посылок получать как результат алгебраических преобразований посылок, записанных в виде уравнений. Для этого требуется лишь расширить привычную трактовку переменных, и допустить, что они могут обозначать не только величины. К базовым понятиям относятся 1 — универсальный класс, 0 — пустой класс и понятие элективного символа. Элективный символ, например А, говорит, что из универсума отобраны все элементы класса А АВ означает, что сначала отобраны элементы класса А, затем из них отобраны элементы В. Поскольку, действуя в обратном порядке, мы придем к идентичному результату, то ху = ух.

Дважды отбирая один и тот же класс, мы останемся с одним этим классом, поэтому

хх = х, или х2 = х, и в целом хn = х.

А поскольку результат нескольких актов подобного отбора «не зависит от группировки или классификации», то

x (u+v) = xu+xv.

Появившийся здесь знак «+» обозначает отбор элементов обоих классов, связываемых этим знаком. Иначе говоря, «х + у» обозначает класс, каждый элемент которого принадлежит классу х либо классу у. Однако принципиальная особенность понимания этой операции Булем в том, что класс «х + у» не содержит элементов, принадлежащих одновременно как х, так и у! Он даже говорит, что мы не имеем право писать «х + у», если х и у не исключают друг друга. Поэтому в системе Буля не имеет места утверждение «х + х = ». Кроме того, Буль использует знак для операции вычитания «-». «1 - х» указывает на элементы универсума, оставшиеся после отбора всех х.

По мнению Буля, приведенных трех законов достаточно для создания базиса исчисления. Поскольку два из них — коммутативность и дистрибутивность — справедливы и в том случае, если элективные символы обозначают количества, здесь применимы и принципы общей алгебры. К этим трем законам он добавляет одну аксиому, которой, по его мнению, достаточно для построения системы: «эквивалентные операции, выполняемые на эквивалентных объектах, дают эквивалентные результаты».

Суждения традиционной логики Буль представляет в виде уравнений следующим образом: ху = 0 означает, что пересечение классов х и у пусто, или «ни один х не есть у», таким образом, это уравнение символизирует общеотрицательное суждение. Общеутвердительное суждение записывается как «х (1 - у) = 0» или «ху = х» (одно легко преобразуется в другое привычными алгебраическими действиями). Для записи частных суждений Буль вводит неопределенный коэффициент v. «ху = v» означает, что пересечение х и у непусто, иначе говоря, некоторые х суть у Соответственно «некоторые х не есть у» символизируется как «х (1 - у) = v». После этого показывается, как можно выразить комбинации этих базисных для Аристотелевой логики суждений. Например, «х = у» означает «все х суть у и все у суть х». Случай, когда некоторые х есть у и при этом все у суть х можно записать как «у = vх».

После этого Буль показывает, что все модусы традиционной силлогистики доказываются как теоремы. Однако Буль на этом не остановился, и изложил общий метод решения логических уравнений, так что силлогистика образовала лишь скромное подмножество теорем его исчисления.

Для формализации гипотетических силлогизмов Буль предлагает другую интерпретацию элективных символов. '1' переосмысляется как «гипотетический универсум», состоящий из всех мыслимых ситуаций и предполагаемых обстоятельств. Тогда элективный символ х говорит о том, что из универсума отобраны все ситуации, в которых высказывание Х является истинным. Соответственно «1 - х» включает все ситуации, в которых Х ложно. Когда мы связываем два высказывания, то все возможные при этом ситуации Буль описывает таблицей:

Август де Морган

Одновременно с «Математическим анализом логики» увидела свет работа Августа де Моргана (1806—1871) «Формальная логика». Де Морган ставил перед собой более скромную цель, нежели Буль: в центре его внимания было реформирование аристотелевской силлогистики, с тем чтобы она могла описывать более широкий класс рассуждений. Тем не менее, решая эту задачу, он предложил некоторые технические новшества, благодаря которым изложение истории современной логики не может не уделить ему внимания. Морган ввел понятие «универсум рассуждения», предполагающее возможность его варьирования, и стал трактовать отрицание понятия как дополнение до универсума. Для обозначения терминов он использовал прописные буквы, а их отрицаний — строчные. Можно заметить, что это ограничивало выразительные возможности: например, затруднительно написать двойное отрицание. Его система записи позволяла образовывать сложные термины — конъюнктивные 'PQ и дизъюнктивные 'P, Q'. На стр. 118 этой книги он приводит формулировку, благодаря которой один древний логический закон впоследствии стал носить его имя:

Противоположность PQ есть p, q; противоположность P, Q есть pq.

Очевидно, что такого закона не могло быть у Буля, который понимал дизъюнкцию (логическое сложение) в исключающем смысле.

В отличие от Буля Морган представляет суждение не как уравнение, но как отношение. Всякое суждение, по его мнению, констатирует, что термин (или иной предмет мышления) Х находится в некотором отношении R к термину Y. В частности, связка «есть», с помощью которой образуется категорическое суждение, есть не что иное, как одно из таких отношений. Ее основными характеристиками являются симметричность, транзитивность и исключение (есть и не есть суть противоречащие альтернативы). Этот подход получил развитие и окончательное оформление в четвертой статье из его цикла «О силлогизме», имевшей подзаголовок «О логике отношений» (1864). Де Морган на уровне языка проводит различие между объектами (X, Y, Z ...) и отношениями (L, M, N ...), и создает предпосылки для построения логики как алгебры отношений; последние характеризуются в терминах рефлексивности, симметричности (которую де Морган называет обратимостью), транзитивности и т. п. X..LY означает «Х является одним из предметов мышления, находящихся в отношении L к Y». Он вводит следующие операции с отношениями. Отрицание отношения обозначается как X. LY или X..IY (X не находится в отношении L к Y). Отношение, обратное к L (его конверсия), обозначается как L-1. ХL-i Y, если YLX. Композиция (произведение) отношений может осуществляться трояким образом. Например, XL MY означает «Х находится в отношении L к некоторому объекту, находящемуся в отношении М к Y», а XLM'Y — «Х находится в отношении L к каждому объекту, находящемуся в отношении M к Y»; XL, MY — «X находится в отношении L только к объектам, находящимся в отношении M к Y». После описания основных операций де Морган доказывает несколько теорем о свойствах отношений, полученных в результате применения операций. Например, обращение отрицания и отрицание обращения тождественны; а также обращение, отрицание и отрицание обращения всех видов композиций. Как видим, не только в случае с отрицанием создание удобной символики относится не к самым выдающимся достижениям де Моргана. Это одна из причин того, что хотя де Морган считается одним из создателей математической логики (причем именно ему принадлежит приоритет в употреблении такого выражения), заложенные им основания логики отношений не были представлены в алгебраической форме. Честь создания алгебры отношений принадлежит Ч. С. Пирсу, который изложил основания ее в серии работ, публиковавшихся в последней трети XIX в., в первую очередь в «Логике отношений» (1883).

Уильям Стэнли Джевонс

Существенный вклад в превращение алгебро-логической системы Буля в то, что сегодня известно под именем «Булева алгебра» (а последняя заметно отличается от той алгебры, которую изложил Буль), внесли работы Уильяма Стэнли Джевонса (1835—1882) «Чистая логика» (1864) и «Подстановка равных» (1869). Джевонс представил вниманию читателя именно логику с ее традиционной проблематикой, терминологией и способом изложения, в то время как у Буля мы наблюдаем (нечисловую) алгебру, адаптированную к решению логических задач. Буквы А, В, С... обозначают у Джевонса содержания терминов: а, b, c — их отрицания. Джевонс отказался от математической трактовки символов логических операций. По его мнению, в чистой логике нет таких операций, как сложение и вычитание. Поэтому на смену булевской операции вычитания приходит собственно отрицание, деление исчезает вовсе. Принципиально важно, что логическое сложение '+' понимается как объединение значений терминов, или неисключающая дизъюнкция: его в принципе не устраивает, что у Буля эта операция «не согласуется с очевидным законом мышления: 'А или А = А'». Словом, принцип А + А = A впервые появляется у Джевонса. Кроме того, Джевонс фактически осуществляет решение логических задач путем приведения их к дизъюнктивной нормальной форме. Например, отрицание соединения терминов ВС он представляет как Вс + bС + bс. Можно сказать, что в изложении Джевонса алгебраическая логика становится в большей степени логикой. Кроме того, Джевонс по-иному, нежели Буль, смотрел на соотношение логики и математики. Он не считал, что логика — это часть математики, но скорее наоборот: логика — это «наука наук». На уровне вещей, говорит Джевонс, мы воспринимаем предметы А, В, С. На уровне науки мы выносим суждения А = В, В = С. На уровне логики мы осуществляем рассуждения {А = В = С} = {А = С}. Логика в понимании Джевонса является орудием для изучения науки, ее новым языком.

Хью Макколл и Джон Венн

Хью Макколл (1837—1909) в 1877—1878 гг. создает исчисление высказываний, причем преподносит его не как интерпретацию алгебры логики, но как собственно логику. В его символизме буквы обозначают не классы, но высказывания, которые истинны или ложны; знаки «1» и «0» впервые обозначают истину и ложь, а знаки операций, по-прежнему заимствованные у математики, получают чисто логическую интерпретацию: х — «и», + — «или/и»,: — «если, то», = — «если и только если», ' — «не». Причем Макколл достаточно очевидно подразумевает под ними истинностные функции. Например, его определение 12 гласит: «Символ А: В (который можно назвать импликацией) говорит, что утверждение А влечет [iтр1у] B; или что всякий раз, когда А истинно, В тоже истинно». Кроме того, он представляет высказывания логики не в виде уравнений, как все его предшественники, но как условные предложения. Макколл не выделяет аксиом или правил вывода, он устанавливает некоторые формулы, объясняя, что их справедливость очевидна, и иногда выводит из них новые уравнения. Тем не менее он зафиксировал большое количество всегда истинных эквивалентностей и импликаций логики высказываний.

Дж. Венн впервые употребляет выражение «Символическая логика». Его главное достижение — развитие графического анализа высказываний, предложенного в свое время еще Л. Эйлером. Надо сказать, что графический анализ Аристотелевых суждений пытался положить в основу логики еще Ж. Д. Жергонн в 1817 г. Если видеть в суждении просто констатацию определенного отношения между объемами двух терминов, то, во-первых, нет оснований один из этих терминов считать субъектом, а другой — предикатом. Во-вторых, иначе будет выглядеть набор базисных суждений. Как следствие, в силлогистике, построенной на основе такой теории суждения, не будет, например, деления на фигуры. Однако тогда на какие-либо реформы, подобные Жергонновским, не было спроса, и его идеи не вызвали резонанса. С появлением же алгебры классов подобные диаграммы, будучи усовершенствованы Венном, стали очень удобной наглядной интерпретацией исчисления классов. Другую, очень своеобразную модификацию диаграмматического метода предложил Л. Кэрролл в книге «Символическая логика» (1896).

Купить

Внимание! Авторские права на книгу "Логика. Учебник" (Под ред. Мигунова А.И., Микиртумова И.Б., Федорова Б.И.) охраняются законодательством!

Логика. Учебник

Оглавление

Для бесплатного чтения доступна только часть главы! Для чтения полной версии необходимо приобрести книгу