Моделирование синергетических систем. Метод пропорций и другие математические методы. Монография

Шаповалов В.И.

Возрастное ограничение: 12+ Жанр: Наука Издательство: Проспект Дата размещения: 10.08.2015 ISBN: 9785392185894 Язык: Объем текста: 105 стр. Формат: epub

Оглавление

Предисловие

Введение

Глава 1. Применение некоторых известных дифференциальных уравнений для создания моделей социальных и экономических систем

Глава 2. Приложение дифференциального исчисления для анализа устойчивости систем

Глава 3. Применение линейного анализа устойчивости для моделирования систем с дискретными (марковскими) процессами

Глава 4. Некоторые приложения теории вероятностей в экономике и технике

Приложение

Для бесплатного чтения доступна только часть главы! Для чтения полной версии необходимо приобрести книгу

Приложение

П1. Краткие сведения о некоторых типах дифференциальных
уравнений, которые были использованы для построения математических моделей

П1.1. Некоторые общие определения

Дифференциальным называется уравнение, содержащее дифференциалы функции y и аргумента x. Обыкновенным называется дифференциальное уравнение, в котором функция зависит только от одного аргумента. Если функция зависит от нескольких аргументов, то дифференциальное уравнение для этой функции называется уравнением в частных производных.

Общий вид обыкновенного дифференциального уравнения записывается как

Порядок дифференциального уравнения равен наивысшему порядку производной, входящей в данное уравнение. В частности, уравнение, приведенное выше, является уравнением n-го порядка. Общим решением дифференциального уравнения называется выражение

y = f (x, C1, C2,..., Cn),

где C1, C2,..., Cn – произвольные постоянные интегрирования. Количество постоянных интегрирования равно порядку дифференциального уравнения.

Общее решение становится частным решением дифференциального уравнения, когда постоянным интегрирования придают конкретные значения.

Постоянные интегрирования можно вычислить с помощью начальных условий задачи. Начальным условием называются значения функции y и аргумента x в начальный момент времени: t = 0. Начальное условие записывается следующим образом:

y |t=0 = y0; x |t=0 = x0. (П1)

П1.2. Уравнение с разделяющимися переменными

Уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида

(П2)

где f (x) и φ(y) – функции соответственно только от x и только от y.

Метод решения

1. Разделяют переменные по разные стороны уравнения.

2. Берут интеграл от обеих частей полученного уравнения.

Пример 1.

Решить уравнение

Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными, так как совпадает с его общим видом (П2).

Решение.

1. Разделяем переменные x и y по разные стороны уравнения:

2. Возьмем интеграл от обеих частей полученного уравнения:

В результате интегрирования найдем

где C – постоянная интегрирования.

П1.3. Однородное линейное дифференциальное уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентами (ОЛУ).

Однородным линейным дифференциальным уравнением n-го порядка с постоянными коэффициентами (ОЛУ) называется уравнение вида

(П3)

где aj – постоянные коэффициенты. Ноль в правой части – отличительная черта ОЛУ.

Метод решения.

1. Составляется характеристическое уравнение (характеристическим называется уравнение, полученное из ОЛУ путем замены каждой производной величиной k, в степени, равной порядку заменяемой производной):

kn + a1kn–1 + a2kn–2 +... + an–1k +an = 0.

2. Находятся корни характеристического уравнения: k1, k2,..., kn.

3. В зависимости от вида kj выбирается тип решения ОЛУ.

Типы решения ОЛУ.

1. Если k – действительные и разные, то

y = C1ek1x + C2ek2x +... +Cneknx,

Cj – постоянные интегрирования.

2. Если k – действительные и одинаковые:

k1 = k2 =... = k, то

y = C1ekx + хC2ekx + x2C3ekx +... + xn–1Cnekx.

3. Если k – комплексные и разные: k1,2 = α1 ± iβ1; k3,4 = α2 ± iβ2; и т. д. (всего n/2 пар корней, αj, βj – числа, мнимая единица), то

y = eα1x(A1 cos β1x + B1 sin β1x) + eα2x (A2 cos β2x + B2 sin β2x) +...

(всего n/2 слагаемых – по числу пар корней), Aj, Bj – постоянные интегрирования.

4. k – комплексные и одинаковые: k = α ± iβ (всего n/2 пар корней),

y = eαx(A1 cos βx + B1 sin βx) + xeαx (A2 cos βx + B2 sin βx) +

+ x2eαx(A3 cos βx + B3 sin βx) +...

(всего n/2 слагаемых – по числу пар корней).

Пример 2.

Решить уравнение

Это уравнение является ОЛУ, так как совпадает с его общим видом (П3).

Решение.

1) Составляем характеристическое уравнение:

k3 – 4k2 + 6k – 4 = 0.

Чтобы упростить его решение, разделим и сгруппируем часть слагаемых:

k3 – 2k2 – 2k2 + 4k + 2k – 4 = 0

k2(k – 2) – 2k(k –2) + 2(k – 2) = 0,

(k – 2)(k2 – 2k + 2) = 0.

2) Находим корни характеристического уравнения:

а) k1 = 2;

б) k2,3 = 1 ± i (α = 1, β = 1).

3) Найденные корни соответствуют двум типам решений ОЛУ – 1-му и 4-му:

y1 = Ce2x,

y2 = ex(A1 cos x + B1 sin x).

Общее решение будет представлять собой сумму решений этих двух типов:

y = y1 + y2 = Ce2x + ex(A1 cos x + B1 sin x).

П1.4. Неоднородное линейное дифференциальное уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентами (НОЛУ)

НОЛУ называется уравнение вида

(П4)

где aj – постоянные коэффициенты; f (x) ≠ 0. НОЛУ отличается от ОЛУ только тем, что его правая часть не равна нулю: f (x) ≠ 0.

Метод решения.

Общее решение НОЛУ имеет вид

y = y* + y1,

где y* – общее решение ОЛУ; y1 – частное решение НОЛУ. Частное решение y1 определяют по виду правой части НОЛУ, т. е. по виду f(x). Существуют два вида f(x), каждому из которых соответствуют два типа частного решения y1:

1. f (x) = p(x)eγx, p(x) – некоторый многочлен,

1.а. γ не совпадает с корнями характеристического уравнения, тогда

y1 = q(x)eγx,

где q(x) – многочлен той же степени, что и p(x);

1.б. γ совпадает с корнями характеристического уравнения µ раз, тогда

y1 = xµ q(x)eγx.

2. f(x) = eγx[m1(x)cos δx + m2(x)sin δx], m1(x), m2(x) – некоторые многочлены,

2.а. γ ± iδ не совпадает с корнями характеристического уравнения, тогда

y1 = eγx[r1(x)cos δx + r2(x)sin δx],

где r1(x), r2(x) – многочлены той же степени, что и соответственно m1(x), m2(x);

2.б) γ ± iδ совпадает с корнями характеристического уравнения µ раз, тогда

y1 = xµ eγx[r1(x)cos δx + r2(x)sin δx].

Пример 3.

Решить уравнение

Сначала находим y* (общее решение ОЛУ). Для этого запишем исходное уравнение как ОЛУ:

Его характеристическое уравнение имеет вид k2 – k = 0. Найдем корни характеристического уравнения: k1 = 0 и k2 = 1. Вид корней соответствует 1-му типу решения ОЛУ:

y* = C1ek1x + C2ek2x = C1 + C2ex.

Теперь найдем y1 – частное решение НОЛУ. Как видно из исходного уравнения, его правая часть f (x) = 2x. Она соответствует 1-му виду правой части при

p(x) = 2x и eγx = 1.

Из равенства экспоненты единице находим, что γ = 0. Откуда следует, что в данном примере подходит пункт «1.б» при µ = 1 (так как γ совпадает с k1 один раз):

y1 = xq(x)eγx = xq(x).

В нашем случае многочлен p(x) имеет первую степень. Поэтому q(x) также представим в виде многочлена первой степени q(x) = ax + b. Тогда

y1 = x(ax + b) = ax2 + bx.

Определим коэффициенты a и b. С этой целью y1 подставим в исходное уравнение:

Напомним, что при равенстве многочленов коэффициенты, стоящие перед переменными с одинаковой степенью по разные стороны уравнения, должны быть равны:

Откуда a = –1; b = –2. Следовательно,

y1 = – x2 – 2x.

Теперь можно записать решение исходного уравнения:

y = y* + y1 = C1 + C2ex – x2 – 2x.

П2. Начальные сведения о линейном анализе устойчивости

П2.1. Некоторые общие определения

В самом общем смысле устойчивость можно определить, как способность системы возвращаться в исходное состояние. Например, пусть в силу каких-либо причин система отклонилась от своего состояния. Если спустя некоторое время она возвратилась в него, то такое состояние считается устойчивым. Если же система оказалась в новом состоянии, то предыдущее считается неустойчивым. Вспомните игрушку «Ваньку-неваляшку». Как ни отклоняй ее, обязательно вернется в исходное положение – состояние этой игрушки очень устойчиво. Пример неустойчивого состояния: попробуйте поставить ручку вертикально пером вниз – все равно упадет.

Состояние системы называется стационарным, если его параметры не меняются с течением времени, при этом в системе происходят процессы, обеспечивающие неизменность этих параметров. Например, самолет находится в стационарном состоянии, если он летит на постоянной высоте и с постоянной скоростью. Однако при этом в нем происходят процессы, обеспечивающие постоянство высоты и скорости полета. Состояние системы называется равновесным, если в ней полностью отсутствуют какие-либо процессы, при этом параметры состояния так же не меняются с течением времени.

Чтобы проверить состояние системы на устойчивость, задают малое отклонение от него. В этом случае говорят, что задают возмущение данного состояния.

Возмущением называется малое (меньше некоторой условной единицы) изменение одной или нескольких величин, характеризующих состояние системы.

Например, пусть поведение системы описывается переменной Y, которая в стационарном состоянии имеет значение Yсm (индекс ст указывает на стационарное значение величины). Тогда

y = Y – Yст (П5)

является возмущением для Yсm.

Стационарное состояние системы называется

а) локально устойчивым, если с течением времени (формально − при t → ∞) его возмущение стремится к нулю, в результате чего система снова возвращается в это же состояние;

б) неустойчивым, если его возмущение увеличивается с течением времени (формально − при t → ∞ достигает сколь угодно больших значений);

в) нейтрально устойчивым, если его возмущение не меняется с течением времени.

В основе метода линейного анализа устойчивости лежит оценка устойчивости стационарных (или равновесных) решений дифференциальных уравнений, названных эволюционными.

Эволюционным уравнением системы называется выражение вида

(П6)

где Yi – переменные системы; Fi – функция переменных, вид которой определяется исследуемыми свойствами системы; n – минимальное количество переменных, необходимых для описания эволюционного процесса.

Постоянные величины, входящие в эволюционное уравнение (П6), называются управляющими параметрами. С помощью управляющих параметров внешняя среда закрепляет свои отношения с системой [20]. Изменение управляющих параметров сказывается в первую очередь на изменении направления развития системы к тому или иному устойчивому (или неустойчивому) состоянию.

Согласно своему определению, возмущение y из (П5) есть малая величина. Следовательно, функцию Fi, которая в конкретной задаче может оказаться нелинейной, удобно разложить в ряд Тейлора по степеням y, а затем упростить, пренебрегая всеми слагаемыми со степенью выше первой. Другими словами, Fi линеаризуется. Собственно, поэтому данный анализ устойчивости и называется линейным.

Пусть по окончании некоторого процесса открытая система переходит в стационарное состояние. При этом переменные данного процесса становятся постоянными. В соответствии с обозначениями эволюционного уравнения (П6) это означает, что Yi = Yiсm. В задачу линейного анализа устойчивости входит проверка на устойчивость именно стационарного решения эволюционного уравнения. Для этого следует задать возмущение для Yicm и проследить за тем, как это возмущение изменяется с течением времени: если уменьшается – то стационарное состояние локально устойчиво, если увеличивается – неустойчиво.

П2.2. Этапы линейного анализа устойчивости

Схема линейного анализа устойчивости включает в себя следующие этапы.

П2.2.1. Составляем уравнение движения системы (закон движения). Например, в случае механической системы это может быть уравнение второго закона Ньютона, записанное с учетом конкретных особенностей задачи.

П2.2.2. Уравнение движения приводим к виду эволюционного уравнения (П6).

П2.2.3. Находим стационарное решение эволюционного уравнения:

Y1сm, Y2сm,..., Ynсm, (П7)

где n – число переменных эволюционного уравнения. Для этого используем очевидное условие

(П8)

П2.2.4. Задаем возмущение каждого стационарного решения из (П7) (см. (П5)):

yi = Yi – Yicm. (П9)

П2.2.5. Составляем уравнение для возмущений. Для этого Yi, выразив его из (П9), нужно подставить в эволюционное уравнение (П6):

или

Учитывая (П8), окончательно получим

(П10)

где Fi – правые части эволюционного уравнения (П6).

Уравнение (П10) содержит единственную изменяющуюся с течением времени величину – возмущение yi (Yicm = const, см. определение стационарного состояния в П2.1), поэтому оно называется уравнением для возмущений.

П2.2.6. Составляем линеаризованное уравнение для возмущений. С этой целью линеаризуется обычно нелинейные функции Fi из (П10) путем разложения в сходящийся ряд Тейлора по возмущениям y в окрестности стационарного решения (мы это можем сделать, так как по определению возмущение есть малая величина, меньшая некоторой условной единицы):

Линеаризация достигается в результате пренебрежения всеми нелинейными членами разложения (т. е. имеющими показатель степени выше первого):

Учтем, что в стационарном состоянии

Но согласно (П8)

В итоге остается

Следовательно, уравнение (П10) принимает вид

(П11)

где

(П12)

– коэффициенты линейного разложения; Fi – правая часть эволюционного уравнения (П6).

Система (П11), состоящая из n уравнений, называется линеаризованным уравнением для возмущений.

П2.2.7. Линеаризованное уравнение для возмущений имеет общее решение в виде

(П13)

где cik – константы интегрирования; ωk – корни характеристического уравнения (см. следующий пункт); l – количество корней характеристического уравнения.

Выражение (П13) описывает поведение возмущения с течением времени. Как видим, именно от знака ωk зависит, будет ли возмущение уменьшаться с течением времени или увеличиваться, т. е., в конечном итоге, будет ли состояние системы устойчивым или нет.

П2.2.8. Чтобы определить ωk, составляем характеристическое уравнение линеаризованного уравнения для возмущений (решаем задачу на собственные значения матрицы коэффициентов aij). Для этого нужно одно из частных решений, представленных в (П13) в виде слагаемых (например, yi = cikexp(ωkt)), подставить в (П11):

или

Сократим eωkt и перенесем левые части в правые:

Данное выражение представляет собой систему линейных однородных уравнений, которая имеет решение, если ее определитель, составленный из коэффициентов, равен нулю. Следовательно,

(П14)

Раскрывая определитель, получаем уравнение относительно ωk, которое и называется характеристическим уравнением линеаризованного уравнения для возмущений.

П2.2.9. Из характеристического уравнения вычисляем ωk.

П2.2.10. По знаку и виду ωk определяем тип устойчивости стационарного решения (П7) при различных значениях управляющего параметра (его определение см. в П2.1).

П2.3. Основные типы устойчивости

В этом разделе мы продемонстрируем применение линейного анализа устойчивости в конкретной задаче. При этом в ходе ее решения мы покажем, как при изменении управляющего параметра появляются различные типы устойчивости.

П2.3.1. Основные типы устойчивости рассмотрим на примере хорошо известной задачи о движении маленького шарика по криволинейной поверхности. Пусть материальная точка массой m движется по поверхности с радиусом кривизны R в среде с постоянной вязкостью γ в условиях действия силы тяжести (рис. П1).

Необходимо найти устойчивые и неустойчивые стационарные состояния системы «материальная точка – криволинейная поверхность – вязкая среда – сила тяжести».

Воспользуемся этапами схемы линейного анализа устойчивости (раздел П2.2).

П2.3.1.1. Составляем уравнение движения системы.

Движение материальной точки по криволинейной поверхности в вязкой среде хорошо изучено в физике. Уравнением движения в этом случае является дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний:

(П15)

где K = 1/R – кривизна траектории s; α = γ/m; γ – коэффициент вязкости; g – ускорение свободного падения; φ – угол поворота радиуса кривизны R при перемещении шарика из точки A в точку B (см. рис. П1).

Рис. П1. Движение маленького шарика по криволинейной поверхности s. На рисунке шарик перемещается из точки A в точку B. На шарик действуют силы тяжести Fg, сопротивления среды Fγ и реакции опоры Fr

Выражение (П15) и представляет собой искомое уравнение движения системы.

П2.3.1.2. Уравнение движения (П15) приводим к виду эволюционного уравнения (П6).

Для этого (П15) необходимо преобразовать так, чтобы в нем не было производных более высокого порядка, чем первый. С этой целью введем новые переменные. В качестве первой переменной очевидно выбрать φ:

Y1 = φ.

Выбор величины на роль второй переменной происходит автоматически. Делается это в процессе понижения порядка второй производной d2φ/dt2 до первого (напомним, что в эволюционном уравнении должны быть производные только первого порядка):

т. е.

В итоге закон движения (П15) разбивается на систему двух уравнений, которая и является эволюционным уравнением задачи:

(П16)

П2.3.1.3. Находим стационарное решение. Для этого используем условие (П8).

С учетом (П16) эта система уравнений примет вид

Откуда

Y1сm = Y2сm = 0 (П17)

– стационарное решение задачи.

Отметим, что в соответствии с выбранными переменными Y1 и Y2 система имеет стационарное решение в точке

т. е. в точке A.

П2.3.1.4. Чтобы проверить стационарное решение (П17) на устойчивость, задаем его возмущения (см. (П9)):

y1 = Y1 – Y1cm;

y2 = Y2 – Y2cm.

П2.3.1.5. Составляем уравнение для возмущений (см. (П10))

где F1 и F2 – правые части системы эволюционных уравнений (П16), т. е.

F1 = Y2; F2 = –αY2 – gKY1. (П18)

П2.3.1.6. С помощью формул (П12) и (П18) находим коэффициенты линейного разложения.

(П19)

П2.3.1.7. Из коэффициентов линейного разложения составляем определитель для нахождения характеристического уравнения (см. (П14)).

Откуда

ω2 – (a11 +a22)ω + a11a22 – a12a21 = 0 (П20)

– характеристическое уравнение задачи.

П2.3.1.8. Находим корни ωk характеристического уравнения (П20):

(П21)

где

B = a11 + a22; D = B2 – 4∆; (П22)

∆ = a11a22 – a12a21.

Подставив сюда значения aij из (П19), получим

B = –a; ∆ = gK; D = a2 – 4gK. (П23)

П2.3.1.9. По формуле (П13) записываем закон изменения возмущений с течением времени:

y1 = c11exp(ω1t) + c12exp(ω2t); (П24)

y2 = c21exp(ω1t) + c22exp(ω2t).

П2.3.1.10. Напомним, что стационарное состояние будет устойчивым, если возмущения yi уменьшаются с течением времени. Последнее же, согласно (П24), зависит от знаков ω1,2, которые, в свою очередь, зависят от знаков величин B, D и ∆ (см. (П21) и (П22)). Именно их различные комбинации и определяют тот или иной тип устойчивости.

С помощью формул (П21), (П23) и (П24) проследим за устойчивостью стационарного решения (П17) при изменении кривизны K от больших значений к маленьким, а затем к отрицательным.

Как следует из (П23), знак D меняется при переходе K через значение a2/4g. Поэтому введем обозначение

Наука Шаповалов В.И. Моделирование синергетических систем. Метод пропорций и другие математические методы. Монография

Наука Шаповалов В.И. Моделирование синергетических систем. Метод пропорций и другие математические методы. Монография

В монографии на конкретных примерах описана методика создания синергетических моделей методом главных пропорций. Достоинства этого метода были наглядно продемонстрированы в знаменитой книге немецкого ученого Германа Хакена «Синергетика». При создании моделей были использованы и другие известные математические методы: линейный анализ устойчивости, некоторые аспекты теории вероятности и теории точечных отображений. На примерах социальных, экономических, биологических и физических систем показана универсальность синергетического подхода.<br /> Монография предназначена всем, кто интересуется математическим моделированием открытых систем. Она также может быть использована в качестве учебного пособия студентами различных специальностей, поскольку рассмотренные в ней задачи снабжены подробным описанием.

Внимание! Авторские права на книгу "Моделирование синергетических систем. Метод пропорций и другие математические методы. Монография" (Шаповалов В.И.) охраняются законодательством!