Моделирование синергетических систем. Метод пропорций и другие математические методы. Монография

Шаповалов В.И.

Возрастное ограничение: 12+ Жанр: Наука Издательство: Проспект Дата размещения: 10.08.2015 ISBN: 9785392185894 Язык: Объем текста: 105 стр. Формат: epub

Оглавление

Предисловие

Введение

Глава 1. Применение некоторых известных дифференциальных уравнений для создания моделей социальных и экономических систем

Глава 2. Приложение дифференциального исчисления для анализа устойчивости систем

Глава 3. Применение линейного анализа устойчивости для моделирования систем с дискретными (марковскими) процессами

Глава 4. Некоторые приложения теории вероятностей в экономике и технике

Приложение

Для бесплатного чтения доступна только часть главы! Для чтения полной версии необходимо приобрести книгу

Глава 2.
Приложение дифференциального исчисления для анализа устойчивости систем

К настоящему времени в экономике системные закономерности наиболее подробно рассмотрены в математических моделях экономического роста крупных регионов, например городов, областей, государств (см., например, [7,14]). При этом в качестве переменных величин, как правило, выбирались национальный доход, капитал, средний уровень зарплаты, цены и т. п. Модели таких систем характеризуют результаты согласованного поведения большого количества фирм, входящих в регион. В данной главе будет проведен анализ поведения отдельной фирмы, для которой экономика региона играет роль внешней среды.

Мы рассмотрим фирму, обладающую следующими средними (по региону) показателями: числом сотрудников и величиной оборотного капитала. Главная задача данного раздела – раскрыть важную роль управляющих параметров, которую они играют при выборе системой пути к тому или иному устойчивому состоянию.

Вначале мы построим общую математическую модель поведения средней фирмы. Затем в качестве примера найдем устойчивые состояния предприятия, занимающегося конкретным видом деятельности, например страхованием.

2.1. Анализ устойчивости фирмы, средней (в некотором регионе) по числу сотрудников и оборотному капиталу

(Изложение данного раздела следует работам [26, 28].) Пусть в фирме работает Y1 сотрудников, а ее капитал, выраженный в некоторых условных единицах, равняется Y2. Необходимо определить, возможно ли в такой системе устойчивое состояние и какому типу устойчивости оно соответствует?

Поиск устойчивых стационарных состояний проведем с помощью линейного анализа устойчивости. Для этого воспользуемся его схемой (см. Приложение П2.2).

2.1.1. Начнем с составления эволюционного уравнения. Левая часть эволюционного уравнения представляет собой производные первого порядка от величин, принятых в качестве переменных (см. (П6)). В нашем случае речь идет о Y1 и Y2:

– скорость роста числа сотрудников;

– скорость увеличения капитала фирмы.

Сформулируем первую главную пропорцию:

скорость роста числа сотрудников (dY1/dt) пропорциональна числу новых сотрудников минус ту ее часть, которая связана с количеством уволившихся.

При этом количество новых сотрудников пропорционально капиталу фирмы (~Y2, так как в среднем люди предпочитают работать в более богатой фирме), а количество уволившихся составляет некоторую долю от числа имеющихся (~Y1). Заменяя знаки пропорции (~) на коэффициенты пропорциональности, первую главную пропорцию приводим к следующему уравнению:

(16)

где α – коэффициент пропорциональности, показывающий, какую часть своего капитала может выделить фирма, чтобы привлечь новых сотрудников; γ – коэффициент пропорциональности, обобщающий в себе различные причины, в результате которых сотрудник может уволиться (или его уволят).

Cформулируем вторую главную пропорцию:

скорость увеличения капитала пропорциональна прибыли от вложения капитала минус расходы на сотрудников.

При этом прибыль от вложения капитала пропорциональна величине вложенного капитала (~Y2), а расходы на сотрудников пропорциональны их количеству (~Y1). Так же заменяя знаки пропорции (~) на коэффициенты пропорциональности, вторую главную пропорцию приводим к уравнению:

(17)

где µ – коэффициент пропорциональности, показывающий эффективность работы фирмы на рынке; β – коэффициент пропорциональности, обобщающий в себе среднюю величину затрат фирмы на одного сотрудника.

2.1.2. Эволюционным уравнением задачи является система уравнений (16) и (17), так как она удовлетворяет общему виду (П6) эволюционных уравнений:

Применив к (18) условие (П8), найдем стационарное решение:

Y1ст = Y2ст = 0. (19)

2.1.3. Обратите внимание: наша модель средней фирмы имеет две переменные Y1 и Y2. Следовательно, мы можем воспользоваться результатами Приложения П2.3, полученными для системы, так же с двумя переменными. В частности, чтобы проверить стационарное решение (19) на устойчивость, достаточно определить соотношение знаков у величин B, ∆ и D. Последние вычисляются по формулам (П22). В эти формулы входят четыре коэффициента линейного разложения: a11, a12, a21 и a22. Их мы найдем с помощью (П12), в которой Fi возьмем из системы эволюционных уравнений (18) нашей задачи.

Итак, согласно (П12),

В первом слагаемом берется частная производная по переменной Y1 от выражения αY2, которое, как видим, не содержит Y1, поэтому, согласно правилу вычисления частной производной, это выражение считается постоянным и производная от нее равна нулю. Во втором слагаемом производная берется от выражения γY1, которое считаться постоянным не может, так как содержит Y1. Поэтому дальнейшие вычисления для a11 примут вид

Аналогично рассуждая, находим остальные коэффициенты линейного разложения:

Подставив найденные значения a11, a12, a21, и a22 в (П22), получим

(20)

2.1.4. Для средней фирмы коэффициенты α и β должны быть сравнительно большими, так как оба относятся к расходам на сотрудников, а коэффициент µ и γ, наоборот, не должен быть большими потому, что, во-первых (в случае µ), у средней фирмы прибыль от операций на рынке не является слишком высокой, иначе бы фирма была богатой, а не средней; и во-вторых (в случае γ), в цивилизованном обществе в средней фирме текучесть кадров невелика.

С учетом сказанного из формул (20) можно точно определить знаки величин ∆ и D. Действительно,

а) произведение больших коэффициентов α и β заведомо больше, чем произведение малых µ и γ, поэтому∆ > 0;

б) квадрат разности малых µ и γ есть очень маленькая величина, поэтому D < 0.

В отношении же B однозначного ответа нет: и µ, и γ – оба малые. Следовательно, мы приходим к двум возможным ситуациям: µ > γ и µ < γ.

Ситуация 1: µ > γ. Это означает, что коэффициент γ – невелик, и причин для увольнения мало.

В этой ситуации знаки величин из (20) распределятся следующим образом:

Такое сочетание знаков совпадает с (П30). В этом случае стационарное решение (19) соответствует неустойчивому фокусу. Фазовая траектория в координатах Y1 и Y2 представляет собой спираль, раскручивающуюся из начала координат (см. рис. П5).

Раскручивание спирали указывает на рост числа сотрудников Y1 и капитала Y2. Но ввиду разновеликости коэффициентов β и µ (β > µ) наступает момент, когда во втором уравнении системы (18) в правой его части первое слагаемое окажется меньше второго и прирост капитала dY2/dt станет отрицательным. На практике это выглядит так, что по мере роста числа сотрудников наступает момент, когда их становится настолько много, что фирма уже не может достойно (по мнению сотрудников) оплачивать их труд. Сотрудники увольняются. Последнее дает увеличение γ. И тогда фирма оказывается в ситуации 2.

Ситуация 2: µ < γ.

Соответствующее распределение знаков величин из (20) имеет вид

Данное выражение совпадает с (П25). В этом случае стационарное решение (19) является устойчивым фокусом, а фазовая траектория представляет собой спираль, сходящуюся к началу координат (рис. П2). Следовательно, число сотрудников Y1 уменьшается.

Но опять-таки из-за разновеликости β и µ неизбежно наступит момент, когда, начиная с некоторого значения Y1, прирост капитала dY2/dt из (18) окажется положительным. При этом причин для увольнения станет меньше (сотрудников останется настолько мало, что фирма сможет достойно оплачивать их труд). Как следствие, значение коэффициента γ понизится. Это приведет фирму снова к ситуации 1. Затем все повторяется.

2.1.5. На рис.2 показана «сшивка» эволюционных диаграмм двух описанных ситуаций. Линией с пониженной яркостью обозначены фазовые траектории переменных Y1 и Y2. Огибающие этих траекторий выделены.

Как видно из рисунка, существует пороговое значение числа сотрудников Y1*, при пересечении которого меняется направление движения системы по осям. В точке Y1 = Y1* действия спиралей устойчивого и неустойчивого фокусов взаимно уравновешиваются. Благодаря этому фазовая диаграмма в координатах Y1 и Y2 приобретает вид замкнутой траектории и соответствует устойчивому предельному циклу (см. рис. 19).

Вывод о существовании здесь предельного цикла также следует из применения теоремы Пуанкаре − Бендиксона. Согласно этой теореме, если некоторая полутраектория остается внутри конечной области и не касается каких-либо особых точек, то эта полутраектория является предельным циклом, при этом внутренняя граница области может быть стянута в точку-источник (см., например, [19]). В рассматриваемой задаче неустойчивый фокус выступает в роли источника, а устойчивый фокус ограничивает систему сверху.

Таким образом, фирма с течением времени стремится к устойчивому состоянию, представляющему собой колебания вокруг оптимального числа сотрудников Y1* (рис. 3). Это оптимальное число сотрудников зависит от соотношения величин β и µ − соответственно коэффициента затрат на сотрудников и коэффициента, связанного с прибылью.

Рис. 2.

Рис. 3. Колебания числа сотрудников фирмы вокруг оптимального значения Y1*

2.1.6. Система уравнений (18) была записана в предположении, что коэффициент γ является постоянной величиной. В связи с этим необходимо сделать следующее замечание. Как мы видели, в каждой из описанных ситуаций всегда наступал такой момент времени, когда γ изменялся. Этот факт явно указывает на зависимость данного коэффициента от времени. Однако на практике временной промежуток, в течение которого γ изменяется заметно, оказывается значительно меньше, чем длительность существования фирмы в любой из ситуаций. Поэтому мы имели полное право в пределах отдельной ситуации полагать γ постоянным.

2.1.7. Основанная на линейном анализе устойчивости методика поиска устойчивых состояний является общей для систем, имеющих различную природу. Чтобы подчеркнуть это обстоятельство, в разделе 2.3 рассмотрена задача, в которой так же осуществлен поиск асимптотически устойчивого стационарного состояния (т. е. аттрактора, см. раздел П5.6), но теперь уже в физической системе – генераторе Ван дер Поля. Генератор Ван дер Поля представляет собой колебательную систему с нелинейными свойствами и часто используется в теоретических исследованиях, связанных с электроникой. Как показано в разделе 2.3, в пространстве двух переменных устойчивым стационарным состоянием генератора является предельный цикл.

2.2. Математическая модель устойчивости страховой фирмы

На примере предприятия, занимающегося конкретной деятельностью, мы продемонстрируем возможности линейного анализа устойчивости для математического моделирования экономической системы.

Наука Шаповалов В.И. Моделирование синергетических систем. Метод пропорций и другие математические методы. Монография

Наука Шаповалов В.И. Моделирование синергетических систем. Метод пропорций и другие математические методы. Монография

В монографии на конкретных примерах описана методика создания синергетических моделей методом главных пропорций. Достоинства этого метода были наглядно продемонстрированы в знаменитой книге немецкого ученого Германа Хакена «Синергетика». При создании моделей были использованы и другие известные математические методы: линейный анализ устойчивости, некоторые аспекты теории вероятности и теории точечных отображений. На примерах социальных, экономических, биологических и физических систем показана универсальность синергетического подхода.<br /> Монография предназначена всем, кто интересуется математическим моделированием открытых систем. Она также может быть использована в качестве учебного пособия студентами различных специальностей, поскольку рассмотренные в ней задачи снабжены подробным описанием.

Внимание! Авторские права на книгу "Моделирование синергетических систем. Метод пропорций и другие математические методы. Монография" (Шаповалов В.И.) охраняются законодательством!