Противоречие смерти подобно... Философский очерк о логическом противоречии

Ивин А.А.

Возрастное ограничение: 0+ Жанр: Философия Издательство: Проспект Дата размещения: 17.10.2016 ISBN: 9785392227747 Язык: Объем текста: 271 стр. Формат: epub

Оглавление

Предисловие

Глава 1. Некоторые общие проблемы логики

Глава 2. Стандартное истолкование логического закона противоречия

Глава 3. Плюрализм в понимании логического противоречия

Глава 4. Противоречие в коннексивной логике

Глава 5. Противоречие в диалектической логике

Глава 6. Объединенная теория импликации

Глава 7. Интуитивная логика

Глава 8. Логическое противоречие в человеческой истории

Для бесплатного чтения доступна только часть главы! Для чтения полной версии необходимо приобрести книгу

Глава 4.
ПРОТИВОРЕЧИЕ В КОННЕКСИВНОЙ ЛОГИКЕ

1. Формирование коннексивной логики

Хотя коннексивная импликация не принадлежит ни к стандартным, ни к нестандартным импликативным отношениям, о ней можно сказать, что она является типичной импликацией, во многом подобной материальной, строгой и другим импликациям. Боле того, как было показано автором, теория коннексивной импликации (коннексивная логика) и теория строгой импликации погружаются друг в друга. Особый интерес к теории коннексивной импликации связан также с тем, что в эту теорию может быть погружена силлогистика.

Следующий отрывок из «Первой аналитики» Аристотеля вызвал многочисленные и противоречивые комментарии: «…Невозможно, чтобы одно и то же было необходимо и когда другое есть, и когда его нет: я имею в виду, например, „такое отношение», что когда А бело, то В необходимо велико, и что когда А не бело, то В „также“ необходимо велико… В таком случае, если В не велико, то и А не может быть белым. Если же „предположить“, что В необходимо велико, когда А не бело, то с необходимостью вытекает, что В велико, когда оно не велико, а это невозможно».

Здесь Аристотель ясно указывает два кажущихся ему логически истинными утверждения с импликацией, не являющейся стандартной. В терминах пропозиционального исчисления они представляются так:

~ ((p q) & (~ p q)),

~ (~ p p).

Второе из этих утверждений, согласно которому никакое высказывание не может имплицироваться его собственным отрицанием, называется тезисом Аристотеля.

В «De Syllogismo Hypothetico» Боэций приводит следующую форму вывода: «Si est A, cum sit B, est C; …atqui cum sit B, non est C; non est igitur A», что можно передать так: «Если p, то если q, то r ; и если q, то не-r ; следовательно, не-p». Символически:

((р (q r) & (q ~ r)) ~ р.

Ход мысли Боэция, приведший его к утверждению обоснованности вывода данной формы, был, по-видимому, таким: импликации «если q, то r» и «если q, то не-r» являются взаимно несовместимыми, что по modus tollens влечет не-р.

Тезисы Аристотеля и Боэция ложны в случае материальной импликации, но удовлетворяют, по мнению Х. Макколла , высказанному еще в XIX в. и проанализированному позднее С. Макколлом , коннексивной импликации, т. е. импликации, антецедент которой несовместим с противоположностью консеквента.

Аристотелевский тезис имплицитно использует коннексивную импликацию: не-р никогда не имплицирует р, так как не-р не является несовместимым с не-р. Если р несовместимо с не-q, т. е. р коннексивно имплицирует q, то р никогда не будет несовместимым с отрицанием не-q, т. е. не будет верным, что р имплицирует не-q. Это и утверждается тезисом Боэция.

Неоднократно предпринимались попытки показать, что Аристотель и Боэций, принимая обоснованность указанных форм вывода, ошибались.

Имеются, однако, работы, в которых утверждается приемлемость этих форм в случае тех или иных видов импликации. В последние годы число исследований, посвященных коннексивной импликации и коннексивной логике, стремительно растет.

2. Коннексивная логика LC

Автором была в свое время построена простая коннексивная логика, являющаяся расширением классической логики высказываний (система LС). Эта логика включает следующие аксиомы и правила вывода.

AO. Множество аксиом классического пропозиционального исчисления:

A1. (p q) & (q r) (p r),

A2. ((p q) & p) q

A3. (p q) (~q ~p),

A4. (p q) ~ (p ~q),

A5. p ~ ~ p,

A6. ~ ~p p.

(R1) правило подстановки вместо пропозициональных переменных;

(R2) правило отделения для материальной импликации;

(R3) правило экстенсиональности, позволяющее заменять эквивалентные друг другу выражения.

Определения:

D1. p q = Df (p q) & (q p),

D2. p ↔ q = Df (p q) & (q p).

Система LС, как и всякая коннексивная логика, является паранепротиворечивой.

3. Погружение силлогистики и традиционной логики в коннексивную логику

Система LС представляет особый интерес в связи с тем, что в нее можно погрузить всю силлогистику. Поскольку система LС опирается на классическую пропозициональную логику, в LC погружается не только силлогистика, но и вся традиционная логика. Этот результат получен автором в 1974 г.

Для этой цели используется пропозициональная логика LC с двумя импликациями: материальной и коннексивной. Эта логика присоединяется к стандартной логике предикатов. В терминах коннексивной импликации и кванторов определяются четыре типа категорических суждений. Показывается, что все силлогистические формы вывода, в том числе и формы вывода с отрицательными терминами, являются теоремами квантифицированной коннексивной логики.

До этого для погружения силлогистики ранее использовалось классическое исчисление предикатов. При этом сама операция погружения оказывалась довольно искусственной.

Традиционная логика слагается из двух главных частей. В одной из них рассматриваются формы вывода, в которые вместо фигурирующих в них переменных могут подставляться суждения. Например: «Если а, то b; но не-b; следовательно, не-a», «Если а, то b, и b, следовательно, а». Первая из этих форм считается обоснованной, вторая обычно приводится в качестве характерного примера ошибочного умозаключения. Вторая часть традиционной логики имеет дело с логическими отношениями между формулами, в которые вместо переменных должны подставляться термины.

В современной логике первую из этих двух частей принято сопоставлять с современным исчислением высказываний, вторую — с современным исчислением предикатов.

Причины, в силу которых традиционная логика терминов (традиционная теория категорических суждений) должна соотноситься именно с исчислением предикатов, а не с исчислением высказываний, представляются очевидными. Предложения традиционной теории категорических суждений, и в частности предложения силлогистики, «не могут быть выражены только средствами чистого исчисления высказываний, так как последнее базируется на абстракции цельных нерасчлененных высказываний, в то время как даже в самых простых силлогистических выводах определяющую роль играет внутренняя логическая структура высказываний — то или иное отношение между субъектом и предикатом».

С другой стороны, представление категорических суждений в терминах исчисления предикатов кажется довольно естественным и даже позволяет прояснить некоторые моменты традиционной логики. Силлогистические термины истолковываются при этом как предикаты, «все» и «некоторые» выражаются с помощью кванторов, а отношение принадлежности — с помощью импликации, конъюнкции и отрицания. Четыре основные формы суждений традиционной логики приобретают в результате такого истолкования следующий вид ( — квантор общности; — квантор существования; — материальная импликация; & — конъюнкция; v — дизъюнкция; ~ — отрицание; a, b, … — переменные для терминов):

(A) «Все а являются b» — (х)(a(x) b(х)),

(E) «Ни одно а не является b» — (x)(a(x) ~ b(х)),

(I) «Некоторые а являются b» — (x)(a(x) & b(x)),

(O) «Некоторые а не являются b» — (x)(a(x) & ~b(x)).

Имеются далеко идущие формальные аналогии между логическими отношениями в сфере категорических суждений и логическими отношениями их аналогов в логике предикатов. Например, суждения «Все а являются b» и «Некоторые а не являются b» противоречат друг другу, и точно таким же является отношение между их аналогами:

(x)(a(x) b(x)) и (x)(a(x) & ~b(x)).

Используя предложение одной из четырех основных форм, мы иногда предполагаем существование вещей, описываемых (или обозначаемых) субъектом этого предложения, а иногда не делаем такого предположения. Например, суждение «Все птицы в данной клетке являются канарейками» предполагает наличие птиц в клетке и вряд ли может считаться истинным только на том основании, что в клетке вообще не имеется птиц. С другой стороны, суждение «Все вечные двигатели не требуют для своей работы подведения энергии извне» является истинным независимо от того, имеются или нет вечные двигатели. Поэтому для придания традиционной логике точной интерпретации необходимо выяснить относительно ее форм суждений, предполагается ли данной формой существование описываемых субъектом предметов или нет. В случае частных форм, I и О, выбор однозначен: они содержат в указанной интерпретации квантор существования и утверждают, таким образом, существование вещей, описываемых субъектом. Экзистенциальное истолкование общих суждений, А и Е, может быть выражено или путем принятия особой аксиомы:

(a)(x)a(x),

утверждающей, что для каждого объекта a существует такой x, что х есть a, или добавлением к выражениям суждений A и E особых приставок, утверждающих существование предметов, описываемых субъектами:

(x)a(x).

Однако, несмотря на неестественность обращения к логике предикатов с целью включения традиционной теории категорических суждений в современную логическую теорию, оно не завершается полным успехом. Можно указать перевод категорических суждений на язык исчисления предикатов, при котором все законы традиционной логики сохраняются:

(A) ~ (x)(a(x) & ~b(x)) & (x)a(x) & (x) ~b(x),

(E) ~ (x)(a(x) & b(x)) & (x)a(x) & (x)b(x),

(I) (x)(a(x) & b(x)) v ~ (x)a(x) v ~ (x)b(x),

Философия Ивин А.А. Противоречие смерти подобно... Философский очерк о логическом противоречии

Философия Ивин А.А. Противоречие смерти подобно... Философский очерк о логическом противоречии

Проблемы современной логики рассматриваются с точки зрения одной из центральных ее категорий – понятия логического противоречия. Анализируются многообразные функции логического противоречия в процессах коммуникации. Дается обзор возможных истолкований логического противоречия в логике. Вводятся новые, пока не исследовавшиеся понятия логического противоречия и импликации. Строится диалектическая логика, являющаяся одним из разделов формальной логики и предполагающая неклассическое понимание противоречия и логического закона противоречия. Показывается, что существуют разные ветви пропозициональной логики, опирающиеся на свои специфические понятия логического противоречия. Выявляется связь прикладной, или интуитивной, логики с культурой своего времени, прослеживаются изменения истолкования логического противоречия на протяжении человеческой истории.