|
|
ОглавлениеГлава 1. Логика финансовых операций в рыночной экономике Глава 5. Некоторые приложения финансовых вычислений Глава 6. Финансовые и коммерческие вычисления в исторической ретроспективе Контрольные (тестовые) вопросы Для бесплатного чтения доступна только часть главы! Для чтения полной версии необходимо приобрести книгуГлава 4. Денежные потоки4.1. Виды денежных потоковОдним из основных элементов финансового анализа является оценка денежного потока (cash flow, flow of payments) C1, C2,…, Cn, генерируемого в течение ряда временных периодов в результате реализации какого-либо проекта или функционирования того или иного вида активов. Элементы Ci потока могут быть либо независимыми, либо связанными между собой определенным алгоритмом. Для простоты изложения материала в этой главе предполагается, что элементы денежного потока однонаправленные, т. е. нет чередования оттоков и притоков денежных средств. Также считается (если не оговорено специально), что генерируемые в рамках одного временного периода поступления имеют место либо в его начале, либо в его конце, т. е. они не распределены внутри периода, а сконцентрированы на одной из его границ. В первом случае поток называется потоком пренумерандо, или авансовым, во втором – потоком постнумерандо. Если первый временной период длится от момента времени t0 до момента времени t 1, второй – от t1 до t2,…, n-й – от tn_1 до tn, то денежные потоки пренумерандо и постнумерандо можно изобразить таким образом (см. рис. 4.1): Временные периоды часто предполагаются равными (т. е. t1=t0=t2=t1=...=tn=tn_1). На практике большее распространение получил поток постнумерандо, в частности, именно этот поток лежит в основе методик анализа инвестиционных проектов. Некоторые объяснения этому можно дать, исходя из общих принципов учета, согласно которым принято подводить итоги и оценивать финансовый результат того или иного действия по окончании очередного отчетного периода. Что касается поступления денежных средств в счет оплаты, то на практике оно чаще всего распределено во времени неравномерно и потому удобнее условно отнести все поступления к концу периода. Благодаря этому соглашению формируются равные временные периоды, что позволяет разработать удобные формализованные алгоритмы оценки. Поток пренумерандо имеет значение при анализе различных схем накопления денежных средств для последующего их инвестирования. Рис. 4.1. Виды денежных потоков Оценка денежного потока может выполняться в рамках решения двух задач: а) прямой, т. е. проводится оценка с позиции будущего (реализуется схема наращения); б) обратной, т. е. проводится оценка с позиции настоящего (реализуется схема дисконтирования). В результате решения каждой из этих задач денежный поток заменяется одним-единственным платежом. Поскольку отдельные элементы денежного потока генерируются в различные временные интервалы, а деньги имеют временную ценность, непосредственное их суммирование невозможно. Поэтому осуществляется приведение денежного потока к одному моменту времени. Используемые при этом расчетные формулы различны в зависимости от вида потока – постнумерандо или пренумерандо. Прямая задача предполагает суммарную оценку наращенного денежного потока (amount of cash flow), т. е. в ее основе лежит будущая стоимость (future value). В частности, если денежный поток представляет собой регулярные начисления процентов на вложенный капитал (P) по схеме сложных процентов, то в основе суммарной оценки наращенного денежного потока лежит формула (3.3). Обратная задача предполагает суммарную оценку дисконтированного денежного потока, т. е. в ее основе лежит приведенная (текущая) стоимость (present value of cash flow). Такая оценка осуществляется с помощью формулы (3.20). Ключевым моментом в рассмотренных схемах является молчаливая предпосылка о том, что анализ ведется с позиции «разумного инвестора», т. е. инвестора, не накапливающего полученные денежные средства в каком-нибудь сундуке, подобно небезызвестному Плюшкину, а немедленно инвестирующего их с целью получения дополнительного дохода. Именно этим объясняется тот факт, что при оценке потоков в обоих случаях, т. е. и при наращении, и при дисконтировании, предполагается капитализация обычно по схеме сложных процентов. Обратим внимание, что фактически некоторые ситуации, связанные с денежными потоками, уже были рассмотрены ранее в разделах 2.9 и 2.12 (в условиях применения простых ставок) и в разделе 3.10 (при использовании сложных ставок). 4.2. Оценка аннуитетаОдним из ключевых понятий в финансовых и коммерческих расчетах является понятие аннуитета (annuity). Логика, заложенная в схему аннуитетных платежей, широко используется при оценке долговых и долевых ценных бумаг, в анализе инвестиционных проектов, а также анализе аренды. Аннуитет представляет собой частный случай денежного потока, а именно это поток, в котором длительности всех периодов равны между собой (напомним, что мы предполагаем либо только притоки, либо только оттоки денежных средств). Исторически вначале рассматривались ежегодные (период равен одному году) денежные поступления, что и послужило основой для названия «аннуитет» (так как год на латинском языке – anno). В дальнейшем в качестве периода стал выступать любой промежуток времени при сохранении прежнего названия. Аннуитет еще называют финансовой рентой, или просто рентой. Любое денежное поступление называется членом аннуитета (членом ренты), а величина постоянного временного интервала между двумя последовательными денежными поступлениями называется периодом аннуитета (периодом ренты). Если число равных временных2 интервалов ограничено, аннуитет называется срочным. Интервал времени от начала первого периода аннуитета до конца последнего периода называется сроком аннуитета. Таким образом, срок аннуитета можно определить, умножая его период на количество денежных поступлений. Если в течение каждого базового периода начисления процентов денежные поступления происходят p раз, то аннуитет часто называют p-срочным. Часто в качестве такого базового периода выступает календарный год. Как и в общем случае, выделяют два типа аннуитетов: постнумерандо (ordinary annuity) и пренумерандо (annuitydue). Аннуитет постнумерандо также называют обычным аннуитетом, а пренумерандо – авансовым аннуитетом. Примером срочного аннуитета постнумерандо могут служить регулярно поступающие рентные платежи за пользование сданным в аренду земельным участком в случае, если договором предусматривается регулярная оплата аренды по истечении очередного периода. В качестве срочного аннуитета пренумерандо выступает, например, схема периодических денежных вкладов на банковский счет в начале каждого месяца с целью накопления достаточной суммы для крупной покупки. Началом аннуитета является начало первого его периода. Поэтому начало аннуитета пренумерандо совпадает с моментом первого денежного поступления. А момент начала аннуитета постнумерандо предшествует моменту первого денежного поступления на интервал времени, равный периоду аннуитета. Если известно точное число членов аннуитета, то он называется верным, или безусловным (annuity certain). Если же количество членов аннуитета зависит от наступления некоторого события, то аннуитет называется условным (contingent annuity). Характерным примером такого аннуитета является пенсия, выплата которой прекращается после смерти пенсионера. В условном аннуитете может быть неизвестна и дата первого денежного поступления. Такая ситуация типична для выплат, которые производятся только при наступлении страхового события. Анализ условных аннуитетов – одна из основных задач страховой (актуарной) математики. Ситуация, когда денежные поступления по периодам варьируют, является наиболее распространенной. В этом случае аннуитет называется переменным (variable annuity) и общая постановка задачи такова. Пусть C 1, C2,…, Cn – аннуитет, период которого совпадает с базовым периодом начисления процентов по ставке r. Требуется найти стоимость данного аннуитета с позиции будущего и с позиции настоящего. Прямая задача предполагает оценку с позиции будущего, т.е. на конец периода n, когда реализуется схема наращения, которую для аннуитета постнумерандо можно представить следующим образом (см. рис. 4.2). Рис. 4.2. Логика решения прямой задачи для аннуитета постнумерандо Таким образом, на первое денежное поступление C 1 начисляются сложные проценты за n–1 период, и оно в конце n-го периода станет равным C1(1+r)n-1. На второе денежное поступление C2 начисляются сложные проценты за n–2 периода, и оно станет равным C2(1+r)n-2 и т. д. На предпоследнее денежное поступление Cn_1 проценты начисляются за один период и оно будет в конце n-го периода равно Cn_1(1+r). Естественно, на Cn проценты не начисляются. Следовательно, наращенный денежный поток для исходного потока постнумерандо имеет вид: и будущая стоимость FVapst исходного денежного потока (аннуитета) постнумерандо может быть оценена как сумма наращенных поступлений, т.е. получаем формулу: или, используя обозначение множителя наращения: Обратная задача подразумевает оценку с позиции текущего момента, т.е. на конец периода 0 (или, что то же самое, на момент начала первого периода). В этом случае реализуется схема дисконтирования, а расчеты необходимо вести по приведенному потоку, все элементы которого с помощью дисконтных множителей приведены к одному моменту времени, а именно – к настоящему моменту времени. Элементы приведенного денежного потока уже можно суммировать; их сумма характеризует приведенную, или текущую, стоимость аннуитета, которую при необходимости можно сравнивать с величиной первоначальной инвестиции. Схема дисконтирования для исходного потока постнумерандо имеет следующий вид (см. рис. 4.3). Таким образом, приведенный денежный поток для исходного потока постнумерандо имеет вид: Приведенная стоимость денежного потока (аннуитета) постнумерандо PVapst в общем случае может быть рассчитана по формуле: Рис. 4.3. Логика решения обратной задачи для аннуитета постнумерандо Если использовать дисконтный множитель, то формулу (4.3) можно переписать в следующем виде: В литературе по финансовым ивестициям оценка с позиции настоящего потока будущих доходов носит также название капитализации доходов . Пример Рассчитать приведенную стоимость аннуитета постнумерандо (тыс. руб.): 12, 15, 9, 25, если дана процентная ставка r=12% и период равен одному году.
Заметим, что формула (4.1) является частным случаем уравнения эквивалентности (3.94) при m=n, nk=k, Pk=Ck, Po=FVapst, n0=n. Следовательно, оценку будущей стоимости аннуитета постнумерандо можно рассматривать с точки зрения ситуации, когда платежи C1, C2,…, Cn, выплачиваемые соответственно в конце первого, второго, …, n-го периода, заменяются одним платежом FVat с выплатой в конце n-го периода. Аналогичным образом в указанных обозначениях только при n0=0 из (3.94) получается формула (4.3), т. е. исходный поток платежей заменяется одним платежом PVapst с выплатой в конце нулевого периода. Согласно формуле (3.94) оценку денежного потока (и, в частности, аннуитета) можно осуществить с позиции любого момента времени и назвать полученную величину стоимостью денежного потока в соответствующий момент времени. Формулу (4.3) можно получить и не указывая явным образом приведенный денежный поток, а осуществляя приведение величины FVapst к настоящему моменту времени. Действительно, Логика оценки аннуитета пренумерандо аналогична вышеописанной; некоторое расхождение в вычислительных формулах объясняется сдвигом элементов потока к началу соответствующих подынтервалов. Для прямой задачи схема наращения будет выглядеть следующим образом (см. рис. 4.4). Рис. 4.4. Логика решения прямой задачи для аннуитета пренумерандо Следовательно, наращенный денежный поток имеет вид и будущая стоимость исходного денежного потока (аннуитета) пренумерандо FVa в общем виде может быть рассчитана по формуле: Очевидно, что FVapre — FVapst(1+r). Для обратной задачи схема дисконтирования представлена на рис. 4.5. Рис. 4.5. Логика решения обратной задачи для аннуитета пренумерандо Приведенный денежный поток для исходного потока пренумерандо имеет вид: Следовательно, приведенная стоимость потока пренумерандо PVapre может быть рассчитана по формуле: Как и в случае с будущей стоимостью, очевидно, что PVapre=PVapst(1+r). Так, если в предыдущей задаче предположить, что исходный поток представляет собой поток пренумерандо, то его приведенная стоимость будет равна: Безусловно, изложенный метод оценки аннуитета справедлив и в случае произвольного денежного потока, когда временные периоды между поступлениями денежных средств не равны друг другу. Ведь, по сути, при этом решается задача замены платежей с составлением соответствующего уравнения эквивалентности. Пример Необходимо произвести платежи 120, 80, 100, 50 и 200 тыс. руб. соответственно через два, четыре года, пять, шесть и девять лет. Определить будущую и приведенную стоимость денежного потока при использовании сложной процентной ставки 20% годовых. С позиции конца девятого года на 120 тыс. руб. начисляются сложные проценты за семь (9–2) лет, на 80 тыс. руб. – за пять (9–4) лет и т. д. Поэтому: Аналогично: Для проверки дисконтируем FV за девять лет: 4.3. Оценка постоянного аннуитета постнумерандоАннуитет называется постоянным (fixed annuity), если все денежные поступления равны между собой (рис. 4.6). В этом случае: Для оценки будущей и приведенной стоимости аннуитета можно пользоваться рассмотренными в предыдущем разделе вычислительными формулами, вместе с тем благодаря специфике постоянных аннуитетов в отношении равенства денежных поступлений эти формулы могут быть существенно упрощены. При выводе всех формул этого раздела предполагаем, что денежные поступления происходят в течение n периодов, которые являются базовыми для начисления процентов по ставке r. Рис. 4.6. Виды постоянных аннуитетов Прямая задача оценки срочного аннуитета при заданных величинах регулярного поступления (A) и процентной ставке (r) предполагает оценку будущей стоимости аннуитета (FVapst). Как следует из логики, присущей схеме аннуитета, записанный в порядке поступления платежей наращенный денежный поток (в аннуитете постнумерандо) имеет вид: а формула (4.1) трансформируется следующим образом: Входящий в формулу множитель FM3(r, n) называется коэффициентом наращения аннуитета (ренты) и представляет собой сумму n первых членов геометрической прогрессии, начинающейся (в обозначениях раздела 1.4 главы) с a=1 и знаменателем q=1+r. Таким образом, Из (4.8) следует, что В финансовой практике для коэффициента наращения ренты постнумерандо принято и такое обозначение FM3(r,n)=Snr. Экономический смысл множителя FM3(r, n) заключается в следующем: он показывает, чему будет равна суммарная величина срочного аннуитета в одну денежную единицу (например, один рубль) к концу срока его действия. Предполагается, что производится лишь начисление денежных сумм, а их изъятие может быть сделано по окончании срока действия аннуитета. Множитель FM3(r, n) часто используется в финансовых вычислениях. Его значения зависят лишь от процентной ставки (r) и срока (n) действия аннуитета, причем с увеличением каждого из этих параметров величина FM3(r, n) возрастает. Значения множителя для различных сочетаний r и n можно табулировать (см. таблицу 3 приложения 3). Заметим, что при выводе формулы (4.7) использовали выражение процентной ставки r в десятичных дробях, однако в приложении 3 значения r даны в процентах. Из (4.7) следует, что FM3(r, n) показывает, во сколько раз наращенная сумма аннуитета больше величины денежного поступления A. В связи с этим множитель FM3(r, n) называют также коэффициентом аккумуляции вкладов. Иногда множитель FM3(r, n) называют фактором будущей стоимости обычного аннуитета или второй функцией сложного процента. В этом случае обратную величину множителя называют фактором фонда обычного возмещения или третьей функцией сложного процента. Из формулы (4.7) следует, что фактор фонда обычного возмещения равен величине платежа, который необходимо вкладывать (депонировать) в конце каждого периода, чтобы при заданной процентной ставке r в конце последнего периода получить на счете сумму, равную единице. Заметим, что формула (4.7) охватывает и «пограничные» случаи. Так, при одном денежном поступлении (n=1) FM3(r,1)=1и FVapst=A. А при r=0 (не происходит никаких начислений) из (4.7) получаем FVapst=nA, т.е. денежные поступления просто суммируются. Естественно, эти результаты следуют и просто из здравого смысла. Иногда для удобства написания формул рассматривают и случай n=0 (денежные поступления отсутствуют) и полагают FM3(r, 0)=0. Пример Вам предлагают сдать в аренду участок на три года, выбрав один из двух вариантов оплаты аренды: а) 10 тыс. евро в конце каждого года; б) 35 тыс. евро в конце трехлетнего периода. Какой вариант более предпочтителен, если банк предлагает 20% годовых по вкладам? Первый вариант оплаты как раз и представляет собой аннуитет постнумерандо при n=3 и A=10 тыс. евро. В этом случае имеется возможность ежегодного получения арендного платежа и инвестирования полученных сумм как минимум на условиях 20% годовых (например, вложение в банк). К концу трехлетнего периода накопленная сумма может быть рассчитана в соответствии со схемой, аналогичной схеме, представленной на рис. 4.2, или сразу по формуле (4.7): Таким образом, расчет показывает, что вариант (а) более выгоден. В формуле (4.7) переменная n означает число периодов, а r представляет собой ставку за период. И период, конечно, не обязательно должен быть равен одному году. Так, если в качестве периода понимать один квартал, то r является сложной ставкой за один квартал. Коэффициент наращения ренты FM3(r, n) обладает рядом свойств, которые можно получить математически и которые имеют содержательную финансовую интерпретацию. Например, для любого целого k>0 справедливо равенство Это соотношение нетрудно доказать алгебраически, но оно также следует и из финансовых соображений. Действительно, величину срочного аннуитета в одну денежную единицу со сроком действия n+k можно найти путем сложения наращенной сложными процентами за время n величины аннуитета за первые k периодов и величины аннуитета за оставшиеся n (n=n+k–k) периодов. Если же в качестве первых взять n периодов, а оставшиеся будут k периодов, то из такого же финансового смысла следует: что математически достаточно очевидно в силу симметричности вхождения параметров n и k в формулу (4.9). Очевидно, формулы (4.9), (4.10) можно записать с использованием множителя FM1(r,n), поскольку v-nn=FM1(r,n). Эти формулы, в частности, дают возможность определить те значения коэффициента наращения аннуитета, которых нет в имеющейся таблице. Например, для вычисления FM3(3%, 60) достаточно воспользоваться одним из равенств: Небольшая разница в ответах объясняется, естественно, приближенным вычислением самих используемых табличных значений из приложения 2 (см. табл. 1 и 3). Также из формулы (4.8) следует равенство которое позволяет высказать следующую интерпретацию результата наращения сложными процентами. Наращенная сложными процентами по ставке r одна денежная единица через n периодов численно равна сумме этой денежной единицы и будущей стоимости аннуитета постнумерандо с денежными поступлениями, равными r (величина процента от одной денежной единицы за период). То есть будущая стоимость этого аннуитета совпадает с величиной сложных процентов, начисленных на одну денежную единицу. Заметим, что указанное выше равенство можно, очевидно, записать и в виде: Поскольку оценка срочных аннуитетов важна при анализе финансовых операций, получим формулы, аналогичные (4.7), для различных видов аннуитетов. При этом убедимся, что при выводе этих формул соответствующие рассуждения принципиально не отличаются друг от друга. К тому же умение проводить такие рассуждения весьма полезно при решении задач. Если r – процентная ставка (в десятичных дробях) за базовый период, а начисление сложных процентов происходит m раз в течение этого периода (не пишем r(m), поскольку период в принципе может отличаться от года), то наращенный денежный поток начиная с последнего денежного поступления имеет вид То есть получили геометрическую прогрессию, первый член которой равен Aи знаменатель – . Следовательно, сумма n первых членов этой прогрессии равна Ситуацию, когда в течение базового периода начисления процентов денежные поступления происходят несколько раз, а проценты начисляются один раз в конце периода, можно рассматривать с двух точек зрения. Изложим первую из них. Пусть в течение базового периода денежные поступления происходят p раз и один раз в конце периода начисляются проценты в соответствии со ставкой r. Определим сумму, которая накопится к концу любого периода, если на отдельные взносы, поступающие в течение периода, начисляются сложные проценты. На последнее (р–е) поступление проценты не начисляются и оно остается равным A. На предпоследнее ((p–1)–е) поступление начисляются сложные проценты за -ю часть периода, и оно будет равно . На (p–2) -е поступление начисляются сложные проценты за -ю часть периода и оно будет равно и т. д. до первого включительно, которое будет равно . Полученная последовательность величин представляет собой геометрическую прогрессию с первым членом A, знаменателем и числом членов, равным p, поэтому сумма этих величин равна Таким образом, можно считать, что имеем аннуитет, в котором денежные поступления равны величине и происходят в конце каждого базового периода начисления процентов. Поэтому, пользуясь (4.7), получим А, учитывая (4.8), можно написать Заметим, что, поскольку , значения в приложении 3 не указаны. Однако непосредственно по формуле (4.8) эти значения нетрудно вычислить с помощью микрокалькулятора. Кстати, из того, что при p>1 следует справедливость неравенства . Теперь изложим другую точку зрения, полагающую, что на отдельные взносы, поступающие в течение периода, начисляются простые проценты. Определим в этом случае сумму, которая накопится к концу любого периода. Внимание! Авторские права на книгу "Курс финансовых вычислений. 4-е издание" (Ковалев В.В.) охраняются законодательством! |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
