|
|
ОглавлениеГлава 1. Логика финансовых операций в рыночной экономике Глава 5. Некоторые приложения финансовых вычислений Глава 6. Финансовые и коммерческие вычисления в исторической ретроспективе Контрольные (тестовые) вопросы Для бесплатного чтения доступна только часть главы! Для чтения полной версии необходимо приобрести книгуГлава 2. Простые проценты2.1. Наращение простыми процентамиСсудо-заемные операции, составляющие основу коммерческих вычислений, имеют давнюю историю. Именно в этих операциях и проявляется прежде всего необходимость учета временной ценности денег. Несмотря на то что в основе расчетов при анализе эффективности ссудо-заемных операций заложены простейшие, на первый взгляд, схемы начисления процентов, эти расчеты многообразны ввиду вариабельности условий финансовых контрактов в отношении частоты и способов начисления, а также вариантов предоставления и погашения ссуд. Предоставляя свои денежные средства в долг, их владелец получает определенный доход в виде процентов, начисляемых по некоторому алгоритму в течение определенного промежутка времени. При этом выделяется некоторый основной интервал времени, который называется базовым. Поскольку стандартным временным интервалом в финансовых операциях является один год, наиболее распространен вариант, когда этот год берется в качестве базового интервала и процентная ставка устанавливается в виде годовой ставки, подразумевающей однократное начисление процентов по истечении года после получения ссуды. В этом случае будем опускать индекс у процентной ставки r1 (как в дальнейшем и у d1,v1 ) и писать просто r (соответственно – d,v). Известны две основные схемы дискретного начисления, т. е. начисления процентов за фиксированные в договоре интервалы времени: • схема простых процентов (simple interest); • схема сложных процентов (compound interest). Схема простых процентов предполагает неизменность величины, с которой происходит начисление. Пусть исходный инвестируемый капитал равен P; требуемая доходность – r (в десятичных дробях). Считается, что инвестиция сделана на условиях простого процента, если инвестированный капитал ежегодно увеличивается на величину P•r. Таким образом, размер инвестированного капитала F через n лет будет равен: т. е. проценты начисляются на одну и ту же величину капитала в течение всего срока. Выражение (2.1) называется формулой наращения по простым процентам, или формулой наращения простыми процентами, а множитель (1+nr) – множителем наращения (accumulation factor), или коэффициентом наращения простых процентов. Очевидно, множитель наращения равен индексу роста капитала P за n лет. Легко видеть, что приращение капитала пропорционально сроку ссуды и ставке процента, т. е., в частности, можно сделать вывод, что доход инвестора растет линейно вместе с n. Величина дохода I, как отмечалось в разделе 1.2., называется процентом или, часто, процентным платежом. На практике процентная ставка r может зависеть от величины исходного капитала P: с увеличением капитала P увеличивается и устанавливаемая ставка r. Например, если инвестируется капитал до 20 тыс. руб., то устанавливается одна ставка процента, если более 20 тыс. руб. – то другая (превышающая предыдущую). Если ставка r дана в процентах, то при использовании формулы (2.1) ставку нужно выразить в десятичных дробях. Пример Найти величину процента и наращенную сумму за трехлетний кредит в 20 тыс. долл., взятый под 9% годовых. Здесь P=20 тыс. долл., n=3 года, r=0,09. Тогда Обратим внимание на размерности величин, определяющих процентный платеж (2.2). Так как P измеряется в денежных единицах (например, рублях), n – в единицах времени (годах), то размерностью r является 1/(единица времени) (1/(год)). Иначе говоря, размерности n и r всегда должны быть согласованы. Таким образом, либо n должно измеряться в годах, либо с изменением размерности n (например, не годы, а кварталы), ставка процента должна отражать рост за новую единицу времени (за квартал). С этих позиций наращение по простым процентам в случае, когда продолжительность n финансовой операции не равна целому числу лет (например, меньше года), определяется по формуле где: t – продолжительность финансовой операции в днях; T – количество дней в году. Тогда – продолжительность финансовой операции, уже измеряемая в годах (т. е. в данной ситуации Для наглядности формулу (2.3) можно записать следующим образом: , т. е. дробь представляет собой дневную ставку, а произведение– ставку за t дней. Следует отметить, что в наших обозначениях rt,=t'•r является процентной ставкой за время t' и тогда (2,3), естественно, примет вид, аналогичный (1.7): Так как I=P•rt,, то наращение по формуле (2.3), и, конечно, по (2.1), происходит процентами «со 100». Сравнивая (2.1) и (2.3), можно сделать вывод, что формула (2.1) носит общий характер, поскольку в качестве n можно рассматривать любое положительное число, необязательно целое (напомним, что при этом условии формула (2.1) получена). Таким образом, (2.1) представляет собой зависимость наращенной суммы от времени, знание которой, в частности, позволяет на практике установить правила досрочного расторжения договора. Эта зависимость является линейной, и ее график имеет вид прямой линии с тангенсом угла наклона, численно равным процентам P•r за один год (см. рис. 2.1). Рис. 2.1. Наращение по простым процентам Обратим внимание, что предыдущие рассуждения не доказывают справедливость формулы (2.1) для любого положительного n, они лишь показывают естественность применений этой формулы в финансовых расчетах и при нецелых n. По сути, мы соглашаемся со следующим утверждением: поскольку простые проценты начисляются на один и тот же исходный капитал, то логично считать величину начисленных процентов пропорциональной числу периодов, за которые эти проценты начисляются (формула (2.2)) и в том случае, когда число n не является целым. А тогда наращенная сумма определяется по формуле (2.1). Наращение по простым процентам применяется при обслуживании сберегательных вкладов с ежемесячной выплатой процентов и вообще в тех случаях, когда проценты не присоединяются к сумме долга, а периодически выплачиваются кредитору. Простые проценты применяют и при выдаче широко распространенных краткосрочных ссуд, т.е. ссуд, предоставляемых на срок до одного года с однократным начислением процентов. Пример Клиент поместил в банк вклад в сумме 3,5 тыс. руб. под 24 % годовых с ежемесячной выплатой процентов. Какую сумму клиент будет получать каждый месяц? Так как в этих условиях P=3,5 тыс. руб., года, r=0,24, то по формуле (2.2) Заметим, что если бы клиент не брал деньги, то к его вкладу каждый месяц прибавлялась бы сумма в 0,07 тыс. руб., поскольку начисление происходит по простым процентам. Если обозначить через Fk наращенную сумму через k месяцев, то последовательность F1,F2,...,Fk,... образует арифметическую прогрессию с первым членом a1=3,5 и разностью d=0,07. Естественно, аналогичный результат можно доказать и в общем случае. Определяя продолжительность финансовой операции, принято день выдачи и день погашения ссуды считать за один день. В зависимости от того, чему берется равной продолжительность года (квартала, месяца), получают два варианта процентов: • точные проценты (exact interests), определяемые исходя из точного числа дней в году (365 или 366), в квартале (от 89 до 92), в месяце (от 28 до 31); • обыкновенные проценты (ordinary interests), определяемые исходя из приближенного числа дней в году, квартале и месяце (соответственно 360, 90, 30). При определении продолжительности периода, на который выдана ссуда, также возможны два варианта: • принимается в расчет точное число дней ссуды (расчет ведется по дням); • принимается в расчет приблизительное число дней ссуды (исходя из продолжительности месяца в 30 дней). Для упрощения процедуры расчета точного числа дней пользуются специальными таблицами (одна для обычного года, вторая для високосного), в которых все дни в году последовательно пронумерованы. Продолжительность финансовой операции определяется вычитанием номера первого дня из номера последнего дня (см. приложение 2). В том случае, когда в расчетах используются точные проценты, берется и точная величина продолжительности финансовой операции; при использовании обыкновенных процентов может применяться как точное, так и приближенное число дней ссуды. Таким образом, расчет может выполняться одним из трех способов: • обыкновенные проценты с приближенным числом дней, обозначаемые как 360 / 360 (применяется в Германии, Дании, Швеции); • обыкновенные проценты с точным числом дней, обозначаемые как 365 / 360 и ли ACT / 360 (Бельги я, Ф ранци я); • точные проценты с точным числом дней, обозначаемые как 365 / 365 или ACT / ACT (Великобритани я, США). В российской практике можно встретиться с различными схемами начисления процентов. Например, обыкновенные проценты, как правило, применяются в операциях с векселями. Точные проценты используются в официальных методиках Центрального банка и Министерства финансов Российской Федерации для расчета доходности по государственным обязательствам. Эффект же от выбора того или иного способа зависит от значительности суммы, фигурирующей в процессе финансовой операции. Но и так ясно, что использование обыкновенных процентов с точным числом дней ссуды дает больший результат, чем применение точных процентов с точным числом дней ссуды. Пример Ссуда в размере 60 тыс. руб. предоставлена 12 марта с погашением 15 августа того же года под процентную ставку 32 % годовых. Рассчитайте различными возможными способами сумму к погашению, если начисляются простые проценты и год високосный. Величина уплачиваемых за пользование ссудой процентов зависит от числа дней, которое берется в расчет. Точное число дней определяется, например, по табл. 2 в приложении 2: 228–72=156 дн. Приближенное число дней ссуды равно: 18 дней марта (30–12)+120 дней (по 30 дней четырех месяцев: апрель, май, июнь, июль)+15 дней августа=153 дн. Возможные варианты возврата долга (через F обозначена сумма к погашению): 1. В расчет принимаются точные проценты и точное число дней ссуды: 2. В расчет принимаются обыкновенные проценты и точное число дней: 3. В расчет принимаются обыкновенные проценты и приближенное число дней: Вообще, как правило, число точных и число приближенных дней ссуды либо очень близки, либо совпадают, что позволяет в банковских расчетах часто пользоваться приближенным числом дней ссуды. Пример Найти величин у процентного платежа за 60-дневный кредит в 20 0 тыс. руб., взятый под 6 % годовых, если расчет ведется способом 360 / 360. По формуле (2.2) получим Этот пример показывает, как надо применять так называемое правило 6 % – 60 дней (6 % – 60 day rule), которое значительно упрощает вычисление процента. Согласно этому правилу процентный платеж (процент) может быть найден просто делением исходного капитала P на 100. «Правило 6% – 60 дней» в определенном смысле можно применять и при произвольных значениях r и n, если предварительно преобразовать формулу (2.2), домножая и деля процентный платеж на соответствующие числа следующим образом: В мировой финансовой практике при расчете процента используют и другие величины. Пусть в обозначениях формулы (2.3). Тогда (2.2) можно записать в виде . Поделив в правой части равенства числитель и знаменатель дроби на r, получим где произведение Pt называется процентным числом, а – процентным ключом, постоянным делителем или дивизором. Очевидно, что при одной и той же ставке r, но при различном принимаемом количестве дней в году ( T=360 или T=365) будет разным и дивизор. Дивизор численно равен такому количеству рублей (или любых других денежных единиц), с которого при ставке процента r получается 1 руб. дохода в день. Это можно пояснить таким образом: rруб. получается с 1 руб. за Tдней, поэтому 1 руб. за то же время получается с капитала , а чтобы иметь 1 руб. дохода каждый день необходимо взять в T раз больше капитала, т. е. Пример Вычислить процент с капитала 2,4 тыс. долл., отданного в долг по ставке 20% годовых на срок с 5 марта по 21 сентября того же года, если расчет ведется способом 365/365. Обозначим P=2,4 тыс. долл. Число дней находим либо прямым подсчетом, либо по таблице: t=200 дней. Так как T=365 и r=0,2, то и по формуле (2.4) получим тыс. долл., т. е. I=263 долл. Если ставка r выражается в процентах, то, очевидно, дивизор определяется выражением . Именно в таком виде он, как правило, встречается в литературе по коммерческим вычислениям XIX и начала XX в. и называется постоянным делителем. При вычислении процентного платежа не всегда известна величина капитала P. Возможны такие ситуации (например, в залоговых операциях), что известна либо только величина капитала, увеличенного на процентный платеж (т. е. P+I), либо уменьшенного на процентный платеж (т. е. P–I). Пусть известна величина F=P+I, годовая ставка r (в виде десятичной дроби) и длительность l (выраженная в годах, необязательно натуральным числом) финансовой операции. Тогда rl=l•r будет процентной ставкой за время l и для нахождения процентного платежа I пользуемся формулой (1.10) вычисления процентов «на 100» Если же известна величина K=P–I, то для нахождения процентного платежа I пользуемся формулой (1.11) вычисления процентов «во 100» Пример Найти величину дохода кредитора, если за предоставление в долг на полгода некоторой суммы денег он получил от заемщика в совокупности 6,3 тыс. руб. При этом применялась простая процентная ставка в 10% годовых. Обозначая F=6,3 тыс. руб.; l=0,5 года; r=0,1; по формуле (2.5) получим: В случае когда срок финансовой операции выражен в днях и обозначен через t, формулы (2.5), (2.6) после простых алгебраических преобразований соответственно примут вид Пример При обращении 6 июля в банк для получения кредита предприниматель получил 10 тыс. долл. Найти, какую сумму должен будет возвратить предприниматель, если долг необходимо вернуть 14 сентября того же года и начисленные простые проценты по ставке 12% годовых были удержаны банком в момент предоставления кредита. Используется способ 365/360. Вначале воспользуемся формулой (2.8) для определения процентов, удержанных банком. Так как t=70 дней, T=360 дней, r=0,12 , K=10 тыс. долл., то Следовательно, предприниматель обязан возвратить долг в размере В банках при обслуживании текущих счетов для начисления процентов часто используют величины , которые (так же, как и Pt) называются процентными числами. В этом случае формула для вычисления дивизора остается прежней , но ставка r в ней выражена в процентах. Обычно сумма на счете часто меняется в результате поступлений или изъятий денежных сумм. Для того чтобы найти общую величину начисленных процентов за некоторый срок, вначале определяют процентные числа за каждый промежуток времени, когда сумма на счете не менялась. Затем все процентные числа складываются и полученное значение делится на D'. Пример Сберегательный счет был открыт 15 февраля и на него была положена сумма в 5 тыс. руб. В следующем квартале 10 апреля на счет поступили 3 тыс. руб. Затем 20 мая со счета было снято 2 тыс. руб., 1 сентября добавлена сумма в 1 тыс. руб. и 4 декабря счет был закрыт. Все операции осуществлялись в течение невисокосного года. Определить сумму, полученную владельцем счета, если процентная ставка равнялась 12% годовых и применялся способ 365/360. Вначале определяем суммы, которые последовательно фиксировались на счете: 5 тыс. руб., 8 (5+3) тыс. руб., 6 (8–2) тыс. руб., 7 (6+1) тыс. руб. Затем находим сроки хранения этих сумм. Они соответственно равны: 54 дня, 40 дней, 104 дня, 94 дня. Сумма процентных чисел составит: Дивизор в этом случае равен: . Следовательно, общая величина начисленных процентов составит: тыс. руб., а владелец счета получит 7+0,624=7,624 тыс. руб. Заметим, что процентные числа можно было вычислять и с несколько иным образом найденными сроками, а именно: для каждого поступления срок хранения определяется исходя из даты поступления и даты закрытия счета. Если происходило изъятие денег, то соответствующее процентное число берется со знаком минус. Тогда: для 5 тыс. руб. – 292 дня, для 3 тыс. руб. – 238 дней, для 2 тыс. руб. – 198 дней и для 1 тыс. руб. – 94 дня. Находим (учитывая знаки) сумму процентных чисел: т. е. получили такую же величину, как и способом, изложенным ранее. 2.2. Переменные ставки и реинвестированиеФинансовое соглашение может предусматривать не только постоянную процентную ставку на весь период, но и устанавливать изменяющуюся во времени (переменную) ставку. Например, наличие инфляции вынуждает периодически варьировать процентной ставкой. В частности, в соглашении может быть оговорена так называемая плавающая процентная ставка (floating interest rate), когда фиксируется не сама ставка, а изменяющаяся во времени ее база и маржа (margin) – величина надбавки к базе. Величина маржи в течение срока сделки бывает как постоянной, так и переменной, что определяется условиями контракта. Пусть на период nk установлена процентная ставка ik (используем обозначение ik, а не rk, так как последнее означает ставку за время k, что может привести к путанице). Тогда приращение капитала за этот период равно величине Pnkik. Если таких периодов m (т. е. k=1, 2,...,m), то наращенная сумма за время (считая, что все периоды и, следовательно, процентные ставки измеряются в одних и тех же соответствующих единицах) определяется по формуле Обозначим , тогда (2.9) примет вид , т. е. на весь период длительностью n можно установить процентную ставку , доставляющую такой же результат, как и данные переменные ставки, а для определения наращенной суммы можно воспользоваться формулой (2.1). Записывая в виде замечаем, что ставка равна так называемой взвешенной сумме процентных ставок, где весом для каждой ставки ik служит доля длительности периода nk, которую он составляет от общей суммы длительностей периодов , причем очевидно, что сумма всех весов равна единице. Если i1=i2=...=im=i, т. е. на весь период соглашения установлена постоянная ставка, то и мы, естественно, из (2.9) получаем первоначальную формулу (2.1) наращения по простым процентам. Кстати, если n1=n2=...=nm=n', т. е. все периоды равны между собой, то и опять получаем (2.1), заменяя все процентные ставки их суммой i'. Конечно, формулой (2.9) можно пользоваться и в тех случаях, когда периоды выражены в различных единицах времени. Главное, чтобы размерность каждого периода nk была согласована с размерностью процентной ставки ik. Таким образом, если nk выражен в годах, то ik – годовая процентная ставка, если nk – в днях, то ik – процентная ставка за один день и т. п. Пример Вкладчик поместил в банк 15 тыс. руб. на следующих условиях: в первый год процентная ставка равна 20% годовых, каждые последующие полгода ставка повышается на 3%. Найти наращенную сумму за два года, если проценты начисляются только на первоначальную сумму вклада. Поскольку P=15, n1=1, (периоды начисления измеряем в годах), i1=0,2, i2=0,23, i3=0,26, то по формуле (2.9) Такую же наращенную сумму можно получить, если простые проценты начисляются за два года (n=2) по ставке годовых. Рассматривая как взвешенную сумму ставок, делаем вывод, что для ставки 20 % весом является дробь 1/2 (так как год составляет половину от двух лет), для каждой последующей ставки весом будет дробь 1/4 (так как половина года составляет четвертую часть от двух лет). Пусть опять на период nk установлена процентная ставка ik, но при изменении (или без изменения) ставки наращенная к этому моменту сумма вкладывается вновь под новый простой процент. Такая финансовая операция называется реинвестированием (reinvestment) или капитализацией полученных на каждом этапе наращения средств. Предположим для определенности, что период n1 предшествует периоду n2, который предшествует периоду n3 и т. д., что не принципиально, так как в противном случае можно надлежащим образом периоды переобозначить. Тогда через время n 1 наращенная сумма станет равной величине F1=P(1+n1i1), после чего будет переоформлена на следующий срок (длительностью n2). Через время n2 наращенная сумма станет равной величине и т. д. Рассуждая аналогичным образом, получим формулу для нахождения наращенной суммы за время при реинвестировании: Очевидно, более строго формулу (2.10) можно доказать, используя метод математической индукции. Заметим также, что множитель представляет собой по существу индекс роста суммы P за время n. Естественно, этот множитель можно определить по формуле (1.6), т. е. как произведение индексов роста за соответствующие периоды. Если периоды начисления процентов равны друг другу и ставка процента не изменяется с течением времени (т. е. n1=n2=...=nm=n' и i1=i2=...=im=i), то из (2.10) следует Пример По данным предыдущего примера найти наращенную сумму за два года, если одновременно с изменением ставки происходит и капитализация процентного дохода. В тех же обозначениях из формулы (2.10) следует: Получили большую наращенную сумму, чем в предыдущем примере, так как после каждого периода начисления осуществлялась операция реинвестирования. 2.3. Потребительский кредитПотребительским (или личным) кредитом (consumer loan) называется кредит, который предоставляет банк, финансовая компания или розничный торговец отдельному индивидууму на потребительские цели (например, для покупки предметов личного потребления). Наиболее часто встречающимися формами потребительского кредита являются использование кредитов по открытому счету в универсальных магазинах и продажа в рассрочку таких товаров, которые население не может приобрести только на зарплату (автомобили, высокого качества бытовая техника и т. д.), что, естественно, стимулирует спрос на эти товары. Существуют различные способы погашения потребительского кредита. Рассмотрим некоторые из них. Один из способов предусматривает начисление процентов на всю сумму кредита и присоединение их к основному долгу в момент открытия кредита, причем погашение долга с процентами (наращенной суммы) происходит равными величинами в течение всего срока кредита. Таким образом, если размер кредита равен P, процентная ставка – r и срок кредита – n (в годах, необязательно целых), то наращенная сумма долга (F) определяется по формуле (2.1) наращения по простым процентам и величина (q) разового погасительного платежа будет зависеть от числа (m) погасительных платежей в году. В этих условиях При таком способе погашения кредита фактическая процентная ставка оказывается больше ставки r, предусмотренной при оформлении кредита, поскольку величина долга с течением времени (с каждым платежом) уменьшается, а проценты уже начислены на первоначальную величину кредита P. Пример Товар ценой в 3 тыс. евро продается в кредит на 2 года под 12% годовых с ежеквартальными равными погасительными платежами, причем начисляются простые проценты. Определить долг с процентами, проценты и величину разового погасительного платежа. Так как P=3, n=2, r=0,12, по формуле наращения по простым процентам и так как m=4 (число кварталов в году), то При погашении потребительского кредита равными платежами может возникнуть задача определения доли каждой выплаты, идущей на погашение основного долга, и доли этой же выплаты, идущей на погашение начисленных процентов. Для составления такого подробного плана выплат можно воспользоваться «правилом 78», заключающимся в следующем. Находим сумму порядковых номеров всех платежей. Например, пусть таких платежей будет двенадцать, тогда 1+2+3+…+12=78 (что, кстати, и послужило названием правила, поскольку в году 12 месяцев и платежи часто осуществляются ежемесячно). Согласно «правилу 78» часть первого погасительного платежа пойдет на выплату от общей начисленной величины процентов (т. е. ), а оставшаяся часть погасительного платежа ( ) пойдет в счет выплаты основного долга. Часть второго погасительного платежа пойдет на выплату от общей начисленной величины процентов (т. е. ), а оставшаяся часть платежа ( ) пойдет в счет выплаты основного долга. Для третьего платежа надо взять дробь и т. д. Если в общем случае будет k запланированных платежей, то, обозначая при использовании «правила 78» необходимо последовательно брать дроби и т. д. до включительно. Очевидно, что сумма всех этих дробей равна единице, т. е. Схема с убывающей величиной процентного платежа играет двоякую роль. Во-первых, она соответствует логике ссудо-заемных операций: поскольку с течением времени происходит погашение основной суммы долга, поэтому и сумма процентов, начисленных на уменьшаемый остаток непогашенного долга, должна снижаться. Во-вторых, она в определенной степени страхует кредитора на случай досрочного погашения долга, если возможность этого предусмотрена кредитным договором. При досрочном погашении заемщик понесет определенный убыток, поскольку большую часть процентов он уже заплатит в начале срока кредитования. Предельным случаем такой политики является ситуация, когда заемщик может получить кредит за минусом предусмотренных договором процентов. Очевидно, что в кредитном договоре могут предусматриваться любые схемы весовых коэффициентов в распределении общей суммы процентов в течение периода кредитования. Формально говоря, при составлении плана погашения кредита можно использовать вообще любую последовательность дробей (в частности, возрастающую), лишь бы сумма этих дробей была равна единице. Составим план погашения кредита в условиях предыдущего примера. Так как запланировано k=2•4=8 платежей, то . Поэтому из первого погасительного платежа в счет уплаты процентов пойдет от общей суммы начисленных процентов, что составляет тыс. евро. Следовательно, в первом квартале часть основного долга погашается в размере 0,465–0,16=0,305 тыс. евро. На начало следующего квартала получим остаток основного долга, равный 3–0,305=2,695 тыс. евро. Во втором квартале в счет уплаты процентов пойдет от общей суммы начисленных процентов, что составляет тыс. евро, а часть основного долга погашается в размере 0,465–0,14=0,325 тыс. евро. На начало третьего квартала получим остаток основного долга, равный 2,695–0,325=2,37 тыс. евро, и т. д. Для наглядности результаты всех расчетов представим в виде табл. 2.1. Внимание! Авторские права на книгу "Курс финансовых вычислений. 4-е издание" (Ковалев В.В.) охраняются законодательством! |
||||||||||||||||||||||
