|
|
ОглавлениеГлава 1. Логика финансовых операций в рыночной экономике Глава 5. Некоторые приложения финансовых вычислений Глава 6. Финансовые и коммерческие вычисления в исторической ретроспективе Контрольные (тестовые) вопросы Для бесплатного чтения доступна только часть главы! Для чтения полной версии необходимо приобрести книгуГлава 3. Сложные проценты3.1. Наращение сложными процентамиДля пояснения принципиальной разницы между простыми и сложными процентами рассмотрим такую ситуацию. Клиент положил в банк на несколько лет сумму, равную P, под простые проценты по ставке r, причем счет можно закрыть в любое время и происходит ежегодное декурсивное начисление процентов. Если клиент через два года закроет счет, то он получит на руки F2(s)=P(1+2r). Но он может поступить и таким образом: через год закрыть счет, получив сумму P(1+r), а затем положить эту сумму еще на год, осуществив тем самым операцию реинвестирования. Такое действие позволит ему в конце второго года получить Величина F2(c) больше F2(s) на величину P•r2=(P•r)•r, которая представляет собой проценты, начисленные на проценты P•r, полученные за первый год. Еще значительнее будет разница между суммой, полученной через 3 года при закрытии счета, и суммой, полученной в результате переоформления счета каждый год. Ясно, что клиенту выгодно ежегодное переоформление счета. Поэтому с целью предотвращения такого рода действий и поощрения долгосрочных вкладов в коммерческой практике применяют сложные проценты. Считается, что инвестиция сделана на условиях сложного процента, если очередной годовой доход исчисляется не с исходной величины инвестированного капитала P (как для простых процентов), а с общей суммы, включающей также и ранее начисленные и невостребованные инвестором проценты. В этом случае происходит капитализация процентов, т. е. присоединение начисленных процентов к их базе, и, следовательно, база, с которой начисляются проценты, все время возрастает. Таким образом, размер инвестированного капитала будет равен: – к концу первого года: F1=P+P•r=P(1+r) ; – к концу второго года: F2=F1+F1•r=F1(1+r)=P(1+r)2; … – к концу n-го года: Равенство (3.1) называется формулой наращения по сложным процентам, или формулой наращения сложными процентами; множитель (1+r)n – множителем наращения (accumulation factor) сложных процентов, или мультиплицирующим множителем; 1+r – коэффициентом наращения, или сложным декурсивным коэффициентом. Из (3.1) видно, что множитель наращения равен индексу роста суммы P за n лет. Согласно формуле (3.1) наращение капитала происходит сложными процентами «со 100». Действительно, F1 является суммой капитала P и процентов P•r «со 100». Величина F2 является суммой капитала F1 (наращенного за один год из первоначального капитала P) и процентов «со 100» по отношению к F1 и т. д. Очевидно, последовательность F1,F2,...,Fn представляет собой геометрическую прогрессию со знаменателем 1+r. В отличие от схемы простых процентов в данном случае приращение капитала не пропорционально ни сроку ссуды, ни ставке процента (естественно, если n≠1). Заметим, что поскольку при начислении сложных процентов осуществляется реинвестирование, то формула (3.1) следует и из формулы (2.11), когда каждый период начисления процентов равен одному году (т. е. в формуле (2.11) полагаем n=1). Пример Депозит в 200 тыс. руб. положен в банк на 4 года под 15% годовых. Найти наращенную сумму, если ежегодно начисляются сложные проценты. Применяя формулу (3.1), получим Использование в расчетах сложного процента в случае многократного его начисления более логично, поскольку в этом случае капитал, генерирующий доходы, постоянно возрастает. При применении простого процента доходы по мере их начисления целесообразно снимать для потребления или использования в других инвестиционных проектах или текущей деятельности. Формула наращения по сложным процентам – одна из базовых формул в финансовых вычислениях, поэтому для удобства пользования значения множителя FM1(r,n)=(1+r)n, обеспечивающего наращение стоимости, табулированы для различных значений r и n (см. табл. 1 приложения 3). Тогда формула алгоритма наращения по схеме сложных процентов переписывается следующим образом: Экономический смысл множителя FM1(r,n) состоит в следующем: он показывает, чему будет равна одна денежная единица (один рубль, один доллар, одна иена и т. п.) через n периодов при заданной сложной процентной ставке r. Множитель FM1(r,n) иногда называют фактором будущей стоимости текущего капитала или первой функцией сложного процента. При выводе формулы (3.1) предполагалось, что n измеряется в годах, а r – годовая процентная ставка. Однако эту формулу можно применять и при других периодах начисления. Необходимо только следить за соответствием длины периода и процентной ставки. Сказанное должно быть учтено и при пользовании финансовыми таблицами. Так, если базовым периодом начисления процентов является квартал (месяц), то в расчетах должна использоваться квартальная (месячная) ставка. Обратим внимание на то, что в табл. 1 приложения 3 значения процентной ставки r даны в процентах (как на практике обычно и делается), хотя в выводах различных соотношений и в самой записи множителя FM1(r,n) процентная ставка r используется в виде десятичной дроби. Ставка, выраженная в процентах, воспринимается естественнее. Поэтому мы несколько будем нарушать математическую строгость при записи множителя FM1(r, n). Так, при решении предыдущего примера с помощью табл. 1 мы записали бы FM1(15%, 4), а не FM1(0,15, 4), как следовало бы. Аналогичное замечание справедливо и для остальных таблиц приложения 3. Как и в случае начисления простых процентов, финансовое соглашение может предусматривать плавающие процентные ставки и при наращении по сложным процентам. Пусть n1,n2,...,nm – следующие друг за другом периоды и на период nk установлена процентная ставка ik. Тогда, учитывая капитализацию начисленных процентов при использовании схемы сложных процентов, наращенная сумма за время (считая, что все периоды и, следовательно, процентные ставки измеряются в одних и тех же соответствующих единицах) определяется по формуле Обратим внимание, что в формуле (3.4) каждый период nk измеряется в периодах начисления, т. е. равен количеству периодов начисления сложных процентов по ставке ik. Обозначим , тогда (3.4) примет вид . Таким образом, в течение всего периода длительностью n можно установить сложную ставку , доставляющую такой же результат, как и переменные ставки, при этом для нахождения наращенной суммы можно пользоваться формулой (3.1). Если i1=i2=...=im=i, т. е. на весь пери од соглашения установлена постоянная ставка, то из (3.4) получаем (3.1). Естественно, формулой (3.4) можно пользоваться и в тех случаях, когда периоды выражены в различных единицах времени. Необходимо только, чтобы размерность каждого периода nk была согласована с размерностью процентной ставки ik, а при определении длительности n общего периода все nk, естественно, должны быть выражены с помощью единицы времени, одинаковой для всех периодов. Пример Предприниматель получил в банке ссуду в размере 25 млн руб. сроком на 6 лет на следующих условиях: для первого года процентная ставка равна 10% годовых, на следующие два года устанавливается маржа в размере 0,4% и на последующие годы маржа равна 0,7%. Найти сумму, которую предприниматель должен вернуть в банк по окончании срока ссуды, если начислялись сложные проценты. Так как P=25, n1=1, n2=2, n3=3, i1=0,1; i2=0,104; i3=0,107; то по формуле (3.4): F6=25(1+0Д)(1+0,104) (1+0,107) =45,469 млн руб. Такая же величина наращенной суммы получается, если в течение 6 лет начисляются сложные проценты по ставке или . Достаточно обыденными являются финансовые контракты, заключаемые на период, отличающийся от целого числа лет. В этом случае проценты могут начисляться с помощью следующих методов: • по схеме сложных процентов: • по смешанной схеме (используется схема сложных процентов для целого числа лет и схема простых процентов – для дробной части года): где w=[n] – целое число лет (квадратной скобкой обозначена целая часть числа); f – дробная часть года (f=n–[n]); n=w+f. Очевидно, что при f=0 формулы (3.5) и (3.6) совпадают между собой и с формулой (3.1). Пример Банк предоставил ссуду в размере 10 тыс. евро на 30 месяцев под 30 % годовых на условиях ежегодного начисления процентов. Какую сумму предстоит вернуть банку по истечении срока? В данном случае n =2,5, w=2, f=0,5. По формуле (3.5): тыс. евро. По формуле (3.6): F2,5=10(1+0,3)2(1+0,5-0,3)=19,435 тыс. евро. Таким образом, в условиях задачи смешанная схема начисления процентов более выгодна для банка. Как же соотносятся величины наращенных сумм при начислениях по схеме простых и по схеме сложных процентов? Это чрезвычайно важно знать при проведении финансовых операций. Все зависит от величины n. Сравним множители наращения по простым и сложным процентам, т. е. сравним 1+nr и (1+r)n. Очевидно, что при n=1 эти множители совпадают и равны 1+r. Можно доказать, что при любом r справедливы неравенства: Таким образом, в случае ежегодного начисления процентов для лица, предоставляющего кредит: • более выгодна схема простых процентов, если срок ссуды менее одного года (проценты начисляются однократно в конце периода); • более выгодна схема сложных процентов, если срок ссуды превышает один год (проценты начисляются ежегодно); • обе схемы дают одинаковые результаты при продолжительности периода 1 год и однократном начислении процентов. Отсюда, в частности, следует, что наращенная сумма будет больше при использовании смешанной схемы (формула (3.6)), чем при использовании схемы сложных процентов (формула (3.5)), что и наблюдали в предыдущем примере. Можно показать (используя ряды), что при малых r наибольшая величина разности между (3.6) и (3.5) достигается при f≈0,5. Графически взаимосвязь между Fn( s)=P(1+nr) и Fn(с)=P(1+r)n можно представить следующим образом (рис. 3.1). Рис. 3.1. Простая и сложная схемы наращения капитала Пример Рассчитать наращенную сумму с исходной суммы в 1 млн руб. при размещении ее в банке на условиях начисления простых и схемы сложных процентов, если: а) годовая ставка 20%; б) периоды наращения: 30 дней, 90 дней, 180 дней, 1 год, 5 лет, 10 лет. Полагать год равным 360 дней. Результаты расчетов можно свести в таблицу (табл. 3.1). Таблица 3.1 (млн руб.)
Таким образом, если денежные средства размещены в банке на срок 90 дней (менее одного года), то наращенная сумма составит: при использовании схемы простых процентов – 1,05 млн руб.; при использовании схемы сложных процентов – 1,0466 млн руб. Следовательно, более выгодна первая схема (разница – 3,4 тыс. руб.). Если срок размещения денежных средств превышает один год, ситуация меняется диаметрально – более выгодна схема сложных процентов, причем наращение в этом случае идет очень быстрыми темпами. Так, при ставке в 20% годовых при использовании схемы простых процентов за 5 лет происходит удвоение исходной суммы, а при использовании схемы сложных процентов за 5 лет исходная сумма увеличивается почти в 2,5 раза. Еще большую разницу между наращенными суммами мы видим через 10 лет. Найдем в общем виде время, необходимое для увеличения первоначальной суммы P в k раз при начислении простых и сложных процентов. Так как в обоих случаях множители наращения равны k, то для простых процентов из равенства 1+nr=k получаем а для сложных процентов из равенства (1+r)n=k получаем Из этих формул можно найти период, за который происходит удвоение первоначальной суммы при одинаковой ставке r простых и сложных процентов. Полагая в (3.7) и (3.8) k=2, соответственно получим В практических расчетах для наглядной и быстрой оценки эффективности предлагаемой ставки наращения при реализации схемы сложных процентов пользуются приблизительным расчетом времени, необходимого для удвоения инвестированной суммы, известным как «правило 72». Это правило заключается в следующем: если r – процентная ставка за период, выраженная в процентах, то n=72/r представляет собой число периодов, за которое исходная сумма приблизительно удвоится. Это правило хорошо срабатывает для небольших значений r (3–18%). Так, если годовая ставка r=12%, то n=6 годам. Подчеркнем, что здесь речь идет о периодах начисления процентов и соответствующей данному периоду ставке, а именно: если базовым периодом, т. е. периодом наращения, например, является половина года, то в расчете должна использоваться полугодовая ставка. Следует также обратить внимание на то обстоятельство, что, хотя в большинстве финансовых расчетов процентная ставка берется в десятичных дробях, в формуле алгоритма «правила 72» ставка взята в процентах. Существуют и другие правила, с помощью которых быстро рассчитывают срок удвоения первоначального капитала для конкретной ставки. В литературе можно встретить «правило 70»: и аналогичное «правило 71» . Отметим также «правило 69»: Например, при годовой ставке r=12% по правилам «70», «71» и «69» соответственно получим: года, года, года. Так как все перечисленные правила дают приблизительные значения, то, естественно, получаем расхождение в сроках. Если же воспользоваться точной формулой, то получим года. В случае нецелого числа лет кроме схемы сложных процентов и смешанной схемы (формулы (3.5) и (3.6)) возможны и другие методы начисления процентов. Приведем эти методы и сравним их между собой. Можно использовать схему сложных процентов для целого числа лет, взяв это число с избытком, и затем полученную сумму учесть «на 100» из простых процентов за лишнее время, добавленное для достижения целого числа лет. Таким образом, если n=w+f(0<f<1), то добавляем время 1–f и получаем целое число лет w+1. Наращенная сумма находится по формуле Если же сумму P(1+r)w+1 учесть простыми процентами «со 100» за лишнее время, то наращенная сумма определяется формулой Можно использовать схему сложных процентов для целого числа лет и затем полученную сумму нарастить простыми процентами «во 100» за дробную часть года, т. е. применить формулу Конечно, (3.11) можно применить, если 1–fr>0. Поскольку в этом случае , то наращение по формуле (3.11) дает больший результат, чем по смешанной схеме (3.6). Так как 0<1–f<1, то справедливо неравенство 1+(1–f)r>(1+r)1-f, которое равносильно при умножении обеих его частей на (1+r) неравенству (1+(1–f)r)(1+r)f>1+r, т.е. справедливо . Таким образом, наращение по формуле (3.9) дает меньший результат, чем по схеме сложных процентов (3.5). А поскольку , то (3.10) доставляет меньшую сумму, чем (3.9). Следовательно, наращенные суммы расположатся в порядке убывания, если их вычислять последовательно по формулам (3.11), (3.6), (3.5), (3.9), (3.10). Пример Кредит в размере 2 млн руб. выдан на 33 месяца по ставке 16% годовых. Определить сумму долга на конец срока. Если вычислять наращенные суммы последовательно по формулам, номера которых приведены перед формулировкой примера, то получим следующие результаты (n=2,75; w=2; f=0,75; 1–f=0,25): (смешанная схема); (схема сложных процентов); Действительно наблюдаем убывание величин наращенных сумм. 3.2. Внутригодовые процентные начисленияНа практике капитализация процентов часто происходит несколько раз в году – по полугодиям, ежеквартально, ежемесячно и даже ежедневно. Например, такие ситуации нередко предусматриваются условиями в депозитных договорах, в соглашениях на получение кредита, в контрактах, оговаривающих выплату дивидендов и т. п. При начислении сложных процентов несколько раз в году пользуются формулой (3.1), понимая под n число периодов начисления, а под r – процентную ставку за период. Однако в финансовых соглашениях, как правило, указывается не ставка за период, а годовая процентная ставка и одновременно определяется количество периодов начисления. С этих позиций преобразуем формулу (3.1). Итак пусть заданы количество m начислений в году и годовая процентная ставка, которую обозначим через r(m) (с помощью верхнего индекса m указываем, сколько раз в течение года происходит наращение). В этом случае длительность периода наращения равна года. Годовая процентная ставка r(m) называется номинальной (nominal rate), если соответствующая процентная ставка за период находится из равенства . Заметим, что такое, с нашей точки зрения, удачное обозначение номинальной ставки придумано не нами. Аналогичное, только с индексом внизу, использовал, например, Н. С. Лунский [I, Лунский, 1916 (б), с. 21]. В этих обозначениях формула (3.1) для нахождения наращенного капитала за n лет при m-кратном начислении процентов в год примет вид где N=mn – количество периодов начисления процентов за n лет. Конечно, (3.1) можно рассматривать в качестве частного случая (3.12) при m=1. Заметим, что при использовании множителя наращения FM1(r,n)=(1+r)n формула (3.12) записывается в виде Следовательно, в ряде случаев значения множителя можно найти по таблице значений множителя FM 1(r, n), полагая в качестве r и nсоответственно и mn (конечно, если таблица достаточно подробна и позволяет сделать это). С целью упрощения записи в дальнейшем, если не возникает недоразумений, индекс m у номинальной процентной ставки будем периодически опускать и писать просто r, однако при этом помня о количестве начислений процентов за базовый период Пример В банк вложены деньги в сумме 5 млн руб. на два года с полугодовым начислением процентов под 20% годовых. В этом случае начисление процентов производится четыре раза по ставке 10% (20%: 2), а схема возрастания капитала будет иметь вид
Если пользоваться формулой (3.12), то P=5,n=2,m=2, r(m)=r(2)=0,2, следовательно: Пример В условиях предыдущего примера проанализировать, изменится ли величина капитала к концу двухлетнего периода, если бы проценты начислялись ежеквартально. В этом случае начисление будет производиться восемь раз (m=4) по ставке 5% (20%: 4), а сумма к концу двухлетнего периода составит: Таким образом, можно сделать несколько простых практических выводов: • при начислении сложных процентов: 12% годовых не эквивалентно 1% в месяц (эта ошибка очень распространена среди начинающих бизнесменов); • чем чаще идет начисление по схеме сложных процентов, тем больше итоговая накопленная сумма. Заметим, что для простых процентов такие выводы не имеют места. Покажем это. В формуле наращения по простым процентам F=P(1+nr) уменьшим период начисления в m раз. Тогда вместо r надо взять процентную ставку , а вместо n – количество периодов начисления процентов, равное mn. Вычисляем наращенную сумму и убеждаемся, что она не изменяется. Приведенное свойство является одним из характерных свойств наращения по простым процентам. Например, наращение простыми процентами ежегодно по ставке 10% годовых дает тот же результат, что и ежеквартальное наращение простыми процентами по ставке 2,5% за квартал. При наращении по сложным процентам ежеквартальное начисление доставляет больший результат, чем ежегодное. Из формулы (3.12) можно найти период n, за который сумма P при m-кратном начислении процентов в год по ставке r возрастет до величины Fn. Решая (3.12) как уравнение относительно неизвестного n, получим формулу которая при m=1 и r =r(1) примет вид Внимание! Авторские права на книгу "Курс финансовых вычислений. 4-е издание" (Ковалев В.В.) охраняются законодательством! |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
