|
|
ОглавлениеРаздел I. Основные понятия финансовых вычислений Раздел II. Практические приложения количественного финансового анализа Для бесплатного чтения доступна только часть главы! Для чтения полной версии необходимо приобрести книгуРаздел II. Практические приложения количественного финансового анализа12. Методы погашения долговЛюбой вид долгосрочного долга будет называться займом или долгом. Существует следующая классификация займов. 1. Займы без обязательного погашения. Взятая в долг сумма не возвращается, но проценты по займу выплачиваются неограниченное долгое время. Такой вид займа описывает механизм вечной ренты. Величина годового платежа R = Ai. 2. Займы с обязательным погашением в один срок. Основная сумма долга выплачивается разовым платежом. Проценты кредитору могут выплачиваться разными способами. 3. Займы с погашением в несколько сроков. Рассмотрим второй вид займов. Если по условиям займа должник обязуется вернуть сумму долга D в конце срока в виде разового платежа, то он должен предпринять меры для обеспечения этого. При значительной сумме долга это обычно создание погасительного фонда. Ежегодно в погасительный фонд вносится сумма R, на которую начисляются проценты по ставке i. Одновременно происходит выплата процентов за долг по ставке g (простые проценты). В этом случае срочная уплата . Поскольку фонд должен быть накоплен за n лет, соответствующие взносы образуют постоянную ренту с параметрами: Допустим, что речь идет о ренте постнумерандо. Тогда срочная уплата , т. е. в фонд систематически вносится сумма, равная . Если условия контракта предусматривают присоединение процентов к сумме основного долга, то срочная уплата определяется следующим образом: . Пример 12.1. Долг в сумме 100 тыс. руб. выдан на 5 лет под 4% годовых. Для его погашения создается погасительный фонд. На инвестируемые в нем средства начисляются проценты по ставке i = 5%. Разработать план погашения долга. Р е ш е н и е. Пусть фонд формируется пять лет, взносы производятся в конце года равными суммами. D = 100; n = 5; g = 4%; i = 5%. Находим срочную уплату: тыс. руб. Годовой платеж в погасительный фонд R = 18,097 тыс. руб. План погашения долга, тыс. руб.
Рассматриваем по-прежнему второй вид займов. Изменим немного условие. Ежегодно в погасительный фонд вносится сумма R, на которые начисляются проценты по ставке i. Одновременно происходит выплата процентов за долг по ставке g (проценты сложные). В этом случае срочная уплата . Здесь — процентный платеж, вычисленный по сложным процентам, — ежегодные взносы в погасительный фонд. Пример 12.2. Фирма получила кредит 50 тыс. руб. на 4 года под 8% годовых (сложных проценты) в банке А. Кредитный контракт предусматривает погашение долга разовым платежом. Одновременно с получением кредита фирма начала создавать погасительный фонд, для чего открыла счет в банке Б. На размещенные средства банк Б начисляет 10% годовых. Определить ежегодные расходы фирмы по амортизации долга при условии, что в погасительный фонд вносятся ежегодно равные суммы. Р е ш е н и е. Параметры финансовой операции: D = 50 тыс. руб., g = 8%, i = 10%, n = 4. Взносы в погасительный фонд составят: тыс. руб. Рассчитаем выплаты процентных платежей по годам: I1 = 50(1 + 0,08)1–1 ⋅ 0,08 = 4,000 тыс. руб. I2 = 50(1 + 0,08)2–1 ⋅ 0,08 = 4,320 тыс. руб. I3 = 50(1 + 0,08)3–1 ⋅ 0,08 = 4,666 тыс. руб. I4 = 50(1 + 0,08)4–1 ⋅ 0,08 = 5,039 тыс. руб. Накопления на конец года в погасительном фонде: S1 = R1 = 10,7735 тыс. руб. S2 = 10,7735 ⋅ 1,1 + 10 7735 = 22,624 тыс. руб. S3 = 22,6244 ⋅ 1,1 + 10 7735 = 35,660 тыс. руб. S4 = 35,6603 ⋅ 1,1 + 10,7735 = 50,000 тыс. руб. План погашения кредита, тыс. руб.
В рассматриваемом примере фирма-заемщик сумела с выгодой для себя реализовать кредитную операцию, так как она на взносы в погасительный фонд получила проценты более высокие, чем платила по займу (i > g). В результате общая сумма расходов по погашению долга составила 61,119 тыс. руб., что значительно меньше, чем если бы фирма погасила долг разовым платежом: тыс. руб. Создание погасительного фонда выгодно даже в том случае, если i < g. Предположим, что процентная ставка на взносы в погасительный фонд i = 6%, остальные параметры финансовой операции такие же, тогда расходы по амортизации займа составят 63,743 тыс. руб., отсюда тыс. руб. Рассмотрим третий случай, когда долг погашается в несколько сроков. В кредитном контракте может быть оговорено условие — производить погашение основного долга равными ежегодными платежами. В этом случае размеры платежей по основному долгу будут равны: Остаток основного долга Dk в начале k-го расчетного периода определяется как Величина срочной уплаты в каждом расчетном периоде равна Yk = D/n + Dk ⋅ g = D/n + (D – R(k –1))g. Пример 12.3. Кредит размером 30 тыс. руб. выдан на 5 лет под 5% годовых. По условиям контракта погашение основного долга должно производиться равными платежами, начисление процентов — в конце года. Составить план погашения кредита. Р е ш е н и е. R = 30/5 = 6 тыс. руб. — годовая уплата основного долга. Годовые срочные уплаты: Y1 = 6 + (30–6 ⋅ 0) 0,05 = 7,500 тыс. руб. Y2 = 6 + (30–6 ⋅ 1) 0,05 = 7,200 тыс. руб. Y3 = 6 + (30–6 ⋅ 2) 0,05 = 6,900 тыс. руб. Y4 = 6 + (30–6 ⋅ 3) 0,05 = 6,600 тыс. руб. Y5 = 6 + (30–6 ⋅ 4) 0,05 = 6,300 тыс. руб. План погашения долга, тыс. руб.
Величина процентного платежа для k-го расчетного периода определяется по формуле Ik = Dk I = (D – R(k – 1) ⋅ i. Этот метод погашения займа называется методом прямолинейного возвращения капитала. 12.1. Погашение долга равными срочными уплатамиПервый этап разработки плана погашения — определение размера срочной уплаты. Далее эта величина разбивается на процентные платежи и сумму, идущую на погашение долга. После этого легко найти остаток задолженности на любой промежуток времени. Периодическая выплата постоянной суммы Y равнозначна ренте с параметрами: D, R = Y, g. Приравняв сумму долга к современной стоимости этой ренты, находим размер срочной уплаты: Y = . Аннуитет Y содержит выплату основного долга и процентный платеж на остаток займа. Остаток долга уменьшается с каждой выплатой. Поэтому можно сделать вывод, что процентные платежи уменьшаются, а выплаты основного долга увеличиваются из периода в период. Рассмотрим взаимосвязь между двумя выплатами займа. Если взять два следующих друг за другом расчетных периода k и (k + 1) и если Dk-1 — остаток долга в начале k-го периода, dk и dk+1 — выплаты k-го и (k + 1)-го периодов, то можно записать: или . Откуда . Следовательно, выплаты образуют геометрическую прогрессию и (k + 1)-я выплата будет равна Таким образом, если заем погашается одинаковыми аннуитетами, выплаты растут в геометрической прогрессии. Платежи по погашению долга образуют ряд: d1, d1⋅(1+ g), …, d1⋅(1+ g)n-1 . Используя этот ряд, легко определить сумму погашенной задолженности на конец года t (после очередной выплаты): . Пример 12.4. Кредит размером 30 тыс. руб. выдан на 5 лет под 5% годовых. По условиям контракта погашение основного долга производится равными срочными уплатами, т. е. рентой с параметрами: Y (неизвестная величина), n = 5, g = 5%. Р е ш е н и е. Находим PVIFA5%, 5 = 4,3294767. Размер срочной уплаты составит: Y = тыс. руб. Первый платеж по погашению долга тыс. руб. План погашения долга, тыс. руб.
12.2. Погашение займа переменными выплатами основного долгаРассмотрим случай, когда выплаты изменяются в геометрической прогрессии. Одним из вариантов погашения кредитной задолженности может быть такой, при котором погашение основного долга должно производиться платежами, каждый из которых больше или меньше предыдущего в q раз. Таким образом, эти платежи будут являться членами возрастающей или убывающей геометрической прогрессии. Члены этой прогрессии будут иметь вид: . Величина основного долга является суммой этих членов и определяется по формуле геометрической прогрессии, где R1 — первый член прогрессии и одновременно первый платеж основного долга, а q — знаменатель прогрессии. Тогда основной долг . Решим это уравнение относительно R1, . Пример 12.5. Кредит в размере 300 тыс. руб. должен быть погашен в течение 6 лет ежегодными выплатами. Процентная ставка 15% годовых, начисление процентов один раз в конце года. Платежи, обеспечивающие погашение основного долга, должны увеличиваться в геометрической прогрессии на 5% ежегодно. Составить план погашения кредита. Р е ш е н и е. По условию примера: D = 300, n = 6, i = 0,15, q = 1,05. Определим величину первого платежа: тыс. руб. План погашения кредита, тыс. руб.
Самостоятельно рассмотреть случай, когда выплаты изменяются в арифметической прогрессии, и решить следующую задачу: Кредит размером 400 тыс. руб. выдан на 5 лет под 15% годовых с начислением процентов в конце каждого года. Выплаты основного долга должны возрастать ежегодно на 10 тыс. руб. Составьте план погашения кредита. 13. Ипотечные ссудыСсуды под залог недвижимости, или ипотека, получили широкое распространение в странах с развитой рыночной экономикой. В такой сделке владелец имущества получает ссуду у залогодержателя. В случае если владелец имущества отказывается от погашения ссуды или не полностью погашает задолженность, то залогодержатель имеет право возместить ущерб из стоимости заложенного имущества. Характерной особенностью ипотечных ссуд является длительный срок погашения — в США до 30 и даже более лет. Существует несколько видов ипотечных ссуд, которые различаются методами погашения задолженности. 13.1. Стандартная ипотекаЗаемщик получает от залогодержателя (кредитора) некоторую сумму под залог недвижимости. Далее он погашает долг вместе с процентами равными, обычно ежемесячными, взносами. Взносы могут быть постнумерандо или пренумерандо. В договоре обычно устанавливается ежемесячная ставка процента, редко — годовая номинальная. В осуществлении ипотеки при покупке (строительстве) объекта участвуют три агента: продавец, покупатель (должник), кредитор (рис. 13.1.). Рис. 13.1 Продавец получает от покупателя за некоторое имущество его стоимость (120). Для того чтобы расплатиться, покупатель получает ссуду под залог этого имущества (100) и добавляет собственные средства (20). Задача заключается в определении размера ежемесячных погасительных платежей R и остатка задолженности на момент очередного ее погашения вплоть до полного погашения долга. Пусть D — общая сумма ипотечного кредита, n — срок ипотеки в годах, погасительные платежи R вносятся ежемесячно, общее число платежей N = 12n, i — месячная процентная ставка. Размер одной срочной уплаты для ренты постнумерандо . Мы уже рассматривали погашение займа равными срочными уплатами. Согласно общепринятому правилу из величины срочной уплаты выплачиваются проценты, а остаток идет на погашение долга. В месяце с номером t сумма, идущая на погашение задолженности, составит: . Сумма погашенной задолженности за t месяцев: . Остаток долга на начало (t+1)-го месяца находится следующим образом: . Пример 13.1. Под залог недвижимости выдана на десять лет ссуда в размере 100 тыс. руб. Погашение ежемесячное, постнумерандо, на долг начисляются проценты по номинальной ставке 12%. Р е ш е н и е. Таким образом, N = 120, i = 0,01. Для этих условий ежемесячные расходы должника Проценты за первый месяц равны 100 000 ⋅ 0,01 = 1000 руб. На погашение долга остается d1 = 434,71–1000 = 434,71 руб. План погашения долга, тыс. руб.
По условиям ипотечного займа найдем остаток долга на начало 118-го месяца: 13.2. Стандартная ипотека с неполным погашением задолженности и выплатой в конце срока остатка долгаУсловия такой ипотеки позволяют уменьшить размеры периодических взносов и (или) сократить срок ссуды. Срочные уплаты рассчитываются таким образом, что они не покрывают всей задолженности, остаток (обозначим его как В) выплачивается в конце срока (рис. 13.2). Рис. 13.2 Величину В называют шаровым платежом. Уравнение, балансирующее условия ипотеки, имеет вид где . Если оговорен размер срочной уплаты, то размер шарового платежа . Пример 13.2. Ипотека задана следующими условиями: D = 100 000; n = 10; R = 1000; i = 1%; N = 120. Найдем размер шарового платежа. Р е ш е н и е. Размер шарового платежа В найдем по последней формуле Если оговорен размер шарового платежа В, то размер срочный уплаты , где . Пример 13.3. Ипотека задана следующими условиями: D = 100 000 руб., n = 10; B = 50 000; i = 1%; N = 120. Найдем размер срочной уплаты. Р е ш е н и е. Размер срочной уплаты найдем по последней формуле: 13.3. Нестандартные ипотеки.. Ипотека с ростом платежей (схема GPM — Graduated Payment Mortgage)Данный вид ссуды предусматривает постоянный рост расходов по обслуживанию долга в первые пять-десять лет. В оставшееся время погашение производится постоянными взносами. Такая схема погашения может привести к тому, что в первые годы расходы должника по обслуживанию долга (срочные уплаты) окажутся меньше суммы процентов. В связи с этим величина долга некоторое время увеличивается. Разделим весь срок погашения ссуды на два интервала протяженностью m и М месяцев. В первом месяце расходы растут с постоянным темпом роста q: Rt = R1qt–1, где R1 — расходы в первом месяце; q — ежемесячный темп роста расходов. Во втором периоде расходы должника равны постоянной величине R = R1qm–1 = Rm. Найдем современную стоимость платежей каждого периода относительно начала действия контракта. В первом периоде последовательность платежей представляет геометрическую прогрессию, и современная стоимость этого потока . Во втором периоде платежи представляют собой отложенную постоянную ренту с членом R = R1 · qm–1 . На начало действия контракта современная стоимость этой ренты Приравняем современную стоимость всего потока платежей к сумме задолженности: D = A1 + A2 = . Отсюда . Пример 13.4. Сумма задолженности по договору ипотеки — 100 000 руб., общий срок погашения — 20 лет (240 месяцев); предусматривается рост платежей в течение 60 месяцев; процентная ставка за ссуду — 10% годовых; ежегодный прирост платежей — 5%. Необходимо разработать график погашения долга. Р е ш е н и е. Исходные данные: D = 100000, m = 60, M = 180, i = 0,1/12 = 0,0083333, ν = 1/(1 + i) = 0,9917355. Ежемесячный темп роста расходов в первом периоде составит  = 1,0040741, qν = 0,9957760, . Находим величину взноса первого месяца: Таким образом, ежемесячные расходы в первом периоде определяются как 802,870 ⋅ 1,004074t-1. Расходы в конце пятилетнего периода: руб. Эта же сумма ежемесячно выплачивается и во втором периоде. 13.4. Ссуды с периодическим увеличением взносов. (SRM — Step Rate Mortgage)Схема такой ипотеки является вариантом GPM: по согласованному графику каждые три-пять лет увеличивается сумма взносов. Весь срок ипотеки разбит на k периодов (равные или неравные). Размеры взносов в каждом периоде R1, R2,…, Rk–1. Задача состоит в том, чтобы определить размер последнего взноса Rk. Рассмотрим простейший вариант, когда периоды одинаковы по длине и длина одного периода m = N/k . В каждом периоде с номером t имеем аннуитет. Найдем сумму Q современных стоимостей k-1 аннуитетов: Это можно записать также следующим образом: . Современная стоимость W непокрытой взносами задолженности: W = D — Q. Эта задолженность W должна быть покрыта взносами последнего периода: W = Rk · PVIFAi,m · v(k–1)m. Отсюда размер взносов в последнем периоде . 13.5. Ссуда с залоговым счетомДля должника в отношении метода погашения долга это ипотека не отличается от ипотечной схемы GPM. Для кредитора это стандартная ипотека. Такое совмещение двух схем достигается открытием специального залогового счета, на который должник (или третья сторона) вносит оговоренную сумму. С этого счета в погашение долга списываются некоторые суммы. Недостающие средства доплачиваются должником. Этим достигается некоторое обеспечение выплат и сокращение расходов должника впервые m месяцев. В зависимости от того, какая величина задается, возможны различные постановки задачи. Рассмотрим одну из них. Пусть заданным является размер залогового счета и необходимо определить суммы взносов с учетом частичного погашения путем списания с этого счета. Решение выполняется в три этапа. На первом этапе по формуле рассчитывается необходимый размер взносов R, далее определяются суммы списания с залогового счета в первые m месяцев, на последнем этапе находятся суммы доплат до требуемого размера взносов R. Для определения сумм списания введем обозначения: Vt — сумма, списываемая с залогового счета; r — месячная ставка процента, начисляемого на средства залогового счета; Z — сумма залогового счета. Обычно суммы списания со счета сокращаются во времени с постоянным темпом, таким образом, соответственно размеры доплат увеличиваются. Находим сумму, списываемую с залогового счета в месяце с номером t: Vt = Vt–1q = V1qt–1. Современная стоимость этого потока платежей равна Z, т. е. V1 · v + V1qv2 + V1q2v3 + … + V1qm–1vm = Z, где ν = 1/(1 + r). Используя формулу суммы m членов геометрической прогрессии, получим . Отсюда сумма списания с залогового счета в первый месяц . Сумма, списываемая с залогового счета в месяце с номером t: Vt = Vt–1q = V1qt–1. Должник доплачивает величину Yt = R — Vt. Здесь t меняется от 1 до m. При m < t <_ M должник уже выплачивает ежемесячно взнос R. Остаток долга на начало (t+1)-го месяца находится как в стандартной ипотеке Dt = D – Wt = D – d1 · FVIFAi, t = D – (R – Di) · FVIFAi, t . Пример 13.5. Стоимость закладываемого имущества 120 тыс. руб. Продавец получает за счет ссуды 115 тыс. руб. и от покупателя 5 тыс. руб. Срок ипотеки — 10 лет. Покупатель открывает специальный счет (15 тыс. руб.). На счет начисляются проценты по ставке 10% годовых (начисление ежемесячное), списание производится 20 месяцев, сумма списания уменьшается на 2% в месяц. Составить план погашения кредита. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= 100 тыс. руб.
