|
|
ОглавлениеРаздел I. Основные понятия финансовых вычислений Раздел II. Практические приложения количественного финансового анализа Для бесплатного чтения доступна только часть главы! Для чтения полной версии необходимо приобрести книгуРаздел I. Основные понятия финансовых вычислений1. Виды процентовПроценты (процентные деньги) — это абсолютная величина дохода (interest) от предоставления капитала в долг в любой ее форме (выдача ссуды, покупка облигации, учет векселя, продажа товара в кредит и т. д.). Проценты обозначаются буквой I. Величина полученного дохода определяется исходя из: • величины вкладываемого капитала P; • срока n, на который вкладывается капитал; • размера и вида процентной ставки (обозначения i, d, j, f, σ). Наращение основной суммы S происходит за счет присоединения процентных денег к основному капиталу: S = P + I. Коэффициентом наращения называется безразмерная величина, которая показывает, во сколько раз вырос капитал. Период начисления — это промежуток времени, за который начисляются проценты. Период начисления может быть разбит на интервалы, по прошествии которых происходит начисление процентов. Существуют два способа начисления процентов: декурсивный и антисипативный. При декурсивном способе проценты начисляются в конце каждого интервала начисления. Их величина определяется исходя из предоставляемого капитала P. Процентная ставка представляет собой отношение суммы начисленного за определенный интервал дохода (процентов) к сумме имеющегося капитала на начало данного интервала. При антисипативном (предварительном) способе проценты начисляются в начале каждого интервала. Сумма процентных денег (дохода) определяется исходя из наращенной суммы. В этом случае процентная ставка представляет собой отношение суммы дохода, выплачиваемой за определенный интервал, к величине наращенной суммы. Такая процентная ставка называется учетной (в широком смысле). При обоих способах начисления проценты могут быть либо простыми, либо сложными. 1.1. Простые процентыВеличина процентной ставки определяется как где IГ — сумма процентов за год; P — сумма капитала, предоставляемого в кредит. Процентная ставка выражается десятичной дробью. Для простых процентов доход за n лет I = IГ n. Наращение основной суммы S = P + I = P + Pin = P(1 + in), где 1+ in = kн — коэффициент наращения. Когда срок финансовой сделки не равен целому числу лет, период начисления равен отношению числа дней ∂ функционирования сделки к числу дней в году K, т. е. n = . В этом случае формула наращенной суммы примет вид . На практике применяются три варианта расчета процентов с использованием временной базы К. 1. Точные проценты с точным числом дней ссуды (английская практика). Продолжительность года K (временная база) равна 365 (366) дням. Точное число дней ссуды ∂ определяется путем подсчета числа дней между датой выдачи ссуды и датой ее погашения. Для подсчета числа дней можно воспользоваться Приложением 1. 2. Обыкновенные (коммерческие) проценты с точным числом дней ссуды (французская практика). Величина ∂ рассчитывается, как в предыдущем случае, а временная база принимается равной K = 360 дн. 3. Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды (германская практика). В этом случае год делится на 12 месяцев по 30 дней в каждом, и временная база K = 360 дн. При точном и приближенном методах начисления процентов день выдачи и день погашения ссуды принимают за 1 день. Пример 1.1. Банк выдал кредит 50 тыс. руб. 15 января. Срок возврата кредита — 12 сентября. Процентная ставка установлена в размере 10% годовых. Год невисокосный. Определить сумму, подлежащую возврату. Р е ш е н и е. Наращенную сумму долга S, подлежащую возврату, рассчитаем тремя методами. 1. По формуле точных процентов с точным числом дней ссуды. Точное число дней ссуды определим по Приложению 1. Порядковый номер 15 января — 15, порядковый номер 12 сентября — 255. Точное число дней ссуды ∂ = 255–15 = 240 дн. тыс. руб. 2. По формуле обыкновенных процентов с точным числом дней ссуды. ≈ 53, 333 тыс. руб. 3. По формуле обыкновенных процентов с приближенным числом дней ссуды. Приближенное число дней ссуды: январь — 16 дней, февраль, март, апрель, май, июнь, июль, август — 30 ⋅ 7 дн., сентябрь — 12 дн. Тогда ∂ = 16 + 30 ⋅ 7 + 12–1 = 237 дней. тыс. руб. Начиная с 2000 г. в нашей стране для реальных расчетов применяется английская практика (начисление точных процентов). Рассмотрим случай, когда на различных интервалах начисления процентов применяются различные простые процентные ставки. Наращенная сумма на конец срока определяется следующим образом: , где it — ставка простых процентов в периоде t, t = ; nt — продолжительность периода; . Пример 1.2. Контракт предусматривает следующий порядок начисления процентов: первый год — ставка 10%, в каждом последующем полугодовая ставка повышается на 1%. Необходимо определить коэффициент наращения за два года. Р е ш е н и е. Находим коэффициент наращения: kн =  = 1 + 0,1 ⋅ 1 + 0,11 ⋅ 0,5 + 0,12 ⋅ 0,5 = 1,215. Обычно к наращению по простым процентам прибегают при выдаче краткосрочных ссуд (на срок до одного года) или в случае, когда проценты не присоединяются к сумме долга, а периодически выплачиваются кредитору. На практике при инвестировании средств в краткосрочные депозиты прибегают к начислению процентов на уже наращенные в предыдущем периоде суммы, т. е. происходит многоразовое наращение, именуемое реинвестированием, или капитализацией процентов. В этом случае наращенная сумма определяется по формуле . Пример 1.3. 200 руб. положены 1 марта на месячный депозит под 12% годовых. Какова наращенная сумма, если операция повторяется три раза? Р е ш е н и е. Если начисляются точные проценты, то руб. Начисление обыкновенных процентов (германская практика); наращенная сумма 1.2. Простые учетные ставкиПростая учетная ставка — антисипативный способ начисления процентов. Суть его сводится к тому, что проценты начисляются в начале расчетного периода, при этом за базу (100%) принимается сумма погашения долга. Введем обозначения: d% — простая годовая учетная ставка; d — относительная величина этой ставки; Dг — сумма процентных денег за год; D — сумма процентных денег за период, равный n. Тогда простая учетная ставка где S — наращенная сумма. Сумма процентных денег за 1 год составит Dг = dS, а за период nD = Dгn = Sdn. Произведем преобразования: S = P + D; S = P + Sdn; S — Sdn = P; P = S(1 — dn). Получаем — основная формула для простых антисипативных процентов. Здесь — коэффициент наращения. Можно также записать . Пример 1.4. Через 180 дней после подписания договора должник уплатит 310 руб. Кредит выдан под 16% годовых. Какова первоначальная сумма долга при условии, что при начислении процентов используется простая учетная ставка и временная база K = 360 дн.? Р е ш е н и е. Первоначальная сумма долга — это величина P: руб. На практике расчеты по простым учетным ставкам чаще всего применяются при учете векселей и других краткосрочных долговых обязательств. Пример 1.5. Владелец векселя учел его в банке по простой учетной ставке 9% за 30 дней до срока погашения, получив при этом 4963 руб. Определить номинал векселя. Р е ш е н и е. Номинал векселя — это величина S: руб. Задачи для самостоятельного решения Задача 1.1. Сумма процентов, начисленных в период с 10 января по 31 октября, составила 1568 руб. Определить размер первоначального капитала, если банк начисляет проценты по ставке 11% годовых при условии, что год невисокосный. Задача 1.2. Годовая ставка при начислении обыкновенных процентов по депозитному 30-дневному сертификату номиналом 100 тыс. руб. равна 10%. Год високосный. Определить сумму точных процентов, выплаченных при погашении сертификата. Задача 1.3. Переводный вексель выдан на сумму 500 тыс. руб. с уплатой 19 декабря. Векселедержатель учел вексель в банке 25 октября по учетной ставке 8%. Определить сумму, полученную векселедержателем, и размер дисконта в пользу банка. Задача 1.4. Сберегательный сертификат выдан на 186 дней под 16% годовых с погашением 50 тыс. руб. Год невисокосный. Определить доход держателя сертификата. Задача 1.5. На какой срок должен быть выпущен сберегательный сертификат номиналом 10 тыс. руб., если сумма погашения при 8% годовых составляет 10,5 тыс. руб.? Год невисокосный. Задача 1.6. Сберегательный сертификат номиналом 10 тыс. руб. выдан на 120 дней с погашением в сумме 12 тыс. руб. Определить: 1) учетную ставку; 2) процентную ставку. За временную базу принять 360 дней. Задача 1.7. По сберегательному сертификату, выданному на 210 дней, начисляется дисконт в размере 12% от суммы погашения. Год невисокосный. Определить: 1) учетную ставку; 2) процентную ставку. 1.3. Сложные процентыОсновное отличие сложных процентов от простых заключается в том, что база для начисления процентов меняется от одного расчетного периода к другому. Сумма начисленных в каждом периоде процентов добавляется к капиталу предыдущего периода, а начисление процентов в последующем периоде производится на эту, уже наращенную величину первоначального капитала. Механизм наращения первоначального капитала по сложным процентам называется капитализацией. Как и в случае простых процентов, существуют два способа начисления сложных процентов: антисипативный и декурсивный. В случае декурсивного способа расчета сложных процентов начисление процентов на первоначальную сумму производится в конце периода наращения. В конце первого периода (года) наращенная сумма равна: S1 = P + Pi = P(1 + i). В конце второго периода (года) проценты начисляются на уже наращенную сумму: S2 = P(1 + i) + P(1 + i)i = P(1 + i)(1 + i) = P(1 + i)2. И так далее, в конце n-го периода (года) наращенная сумма будет равна Sn = P(1 + i)n. Величина (1 + i)n является коэффициентом наращения сложных процентов (Приложение 2). Если срок ссуды измеряется дробным числом лет, то наращенную сумму можно найти смешанным методом: S = P(1 + i)[n](1 + {n}i), где [n] — целая часть числа n; {n} — дробная часть числа n. В контрактах на получение кредитов часто предусматривается капитализация процентов по полугодиям, кварталам, иногда помесячно. В этом случае указывается годовая ставка j (номинальная). Тогда для начисления процентов m раз в году используется формула S = P (1+j/m)mn. Если срок ссуды измеряется дробным числом лет, а начисление процентов производится m раз в году, то наращенная сумма может быть определена по смешанному методу S = P(1+ j/m)mn(1+ (j/m{n}), где mn — число полных периодов начисления процентов, {n} — дробная часть одного периода начисления процентов. Пример 1.5. На сумму 600 руб. ежеквартально по ставке 12% годовых начисляются сложные проценты в течение 14 месяцев. Определить величину наращенной суммы двумя методами. |
||||||||||||||||||||||
